PREMIER !•: SECTION

L'oqualion proposée osl do la fornie

OÙ X,, Xo, . . . , X„ sont des t'onclions lioloiiiorplies en .r,, .r„ »•„.

expi'imal)les par des séries dont les leniies de degré zéio sont nuls et dont les lernies du premier degré se réduiseni respeelivenieiil à

Hypolliése I. — Si l'on représente les parties réelles el imaginaires de ).,, )..,, ..., ).„ par les coordonnées de n points dans un plan, ces // points sont tous d'un même eoté d'une certaine droite passant par l'origine, ou, ce qui revient au même, le polygone convexe à l'intérieur duquel se trouvent les points /,, )... >„ ne contient pas l'origine.

Urpollièsc II. — Les (juantilés À,, À... ..., )„ ne salisl'ont à aucune

relation de la l'orme

w../., -T- /«j/j !- . . -H ni,,},, ' ■ /i

où nin, m^ w„ sont des nombres entiers positifs.

Tiiicoiiii.MK 1. — Si ces hyiiolltcsrs sonl salisfailcs, le module de l expression

1 nijl. - ?., 1 m, - I

'■ Go )

est toujours plus grand qu'un certain nombre positif K, quand on donne aux mi des valeurs entières et positives, mais d'ailleurs quelconques.

En eflet :

i" Cette expression n'est jamais nulle, car, pour qu'elle le lïit, il

faudrait que l'on eût

Or, toutes les fois que m, > o, le point dont les coordonnées sont les parties réelles et imaginaires de

esta l'intérieur du polygone convexe (|ui enveloppe tous les points).,; or ce polygone n'enveloppe pas l'origine.

Si au contraire m, =o, on n'aura pas non plus

ntili -+- /J/j^.j -h ■ . . -i- ni„l„ — },, = o,

en vertu de l'Iiypothèse II.

Donc

2° Cette expression ne tend pas vers zéro quand les m tendent vers l'infini d'une manière quelconque, mais en restant entiers positifs. En effet, supposons que m,, m., m,^ tendent vers l'inliiii, de

manière que

m,- (Xi lim — = — •

OÙ les a, et a, sont des quantités finies, déterminées, positives et d'ailleurs quelconques.

On aura

Im/li — I 2aili

lim

Or y ' " est représenté [)ar le centre de gravité de n masses égales respectivement à a,, a^, ..., a„ et placées aux points).,, Xj, .... ).„.

Ce ("cnlrc do 2;raviié csl à l'iiitcrieiir du polygone circonsciit ;uik puiiiis ).,, /.. /„. Donc

Donc on peut clioisii- an nombic [)osilil'K Ici (ju

mou -nr >■ K.

Théorème 11. — // existe une infinilè de fonctions holomorplics qui satisfont à l'équation

où s = a;, + .r ., -f- . . . + .i-„.

En effet, faisons dans l'équation [■?.)

z =^Xi — xr, il vient

et l'on voit aisément que l'éciuation csl satisfaite. Soit maintenant

où II = AiM -t-«, d'où

il viendia

et, par conséquent, le premier membre de l'cqnation (2) s'écrira

/(S) (ix. - ^^] =/(S) iizlz^^LiL^li^ = ,.

•' ^ ' \ I —xbj •' ^ I — ah

Donc la fonction/' S), qui est une fonction liolomorplie, satisfait égalenfienlà l'écjuation donnée.

( 62 ) Il en sera de même des fonctions

(3) K,f[S]^K,'x,-x,]-hK,[.r,-x,)-h...-hK..[j-„- .r,),

où K, , Kj K„ sont des constantes quelconques.

Corollaire I. — Parmi ces fonctions, il y en a une qui est représentée par une série dont les termes du premier degré se réduisent à a', .

En effet, /(S) est représenté par une série dont le premier terme est S.

Si donc on fait dans l'expression (3)

cette expres>ion devient une série (]ue nous appellerons oj.r), et dont les termes du premier degré se réduisent à x, .

Il y

CoROLLViRE II. — Si M et a sont réels positifs, H et — n — '- seront réels

positifs, et tous les coefficients de la série ©(.r) sont réels et positifs.

Théorème III. — Si les hypotliéses I et II sont satisfaites, l'équation ( i ) admet une intégrale liolomorphe, et une seule, dont les termes du premier degré se réduisent à a-, .

i" Il existe une série, et une seule, qui satisfait formellement à l'équalioii (i) et dont les termes du premier degré se réduisent à.r,.

En effet, si une pareille série existe, on obtiendra le coefficient du terme en

en dill'érentiant l'équation (i) w, fois par rapport à .r,, ... m„ luis par rapport à ./•„. et en égalant les .r ii zéro. Posons, poui abréger,

on aura

é(|ualioii dunl le second membre est une expression symI)oli(iue où l'un

convient d'effectuer la multiplication d'après les règles ordinaires du calcul et de remplacer après l'opération

(x,;,;xo?-...(x,;^ par ^^^^

et de même pour /v.

Donc on a

Dans celle expression, D,U ropréscnle une dérivée partielle do U qui ne diflère de DU que parce qu'une différenlialion par rapport a .r, a élé remplacée par une différentiation par rapport à r,, de telle façon que

dXr dx"''~^ (/ar j'= dx'"' . . . dx',^'

Les B sont des termes formés d'un coefficient positif d'une dérivéLde Xr d'ordre supérieur au premier et d'une dérivée du = d'ordre inférieur à m, -i- m,-T- . . . -i- nig.

Si l'on annule les x, X^ s'annule ainsi que ses dérivées du |)renii('r

ordre, excepté— —'j qui se réduit à À^. On a donc

D Xrpr^nihDz ^IQ,

et D- est donné [lar l'équation

IT) Xrfr -hDz ou

(4) fwi,"/, -4- flhl. 4-. ..-H inj,— >.,!); -f- iB :--o.

Si l'on connaît les dérivées d'ordre inférieur à celui di- \)z, celle équation permettra de calculer 1);, puistiue

Donc, si l'on connaissait les dérivées du premier ordre, on pourrait calculer toutes les autres et l'on ne trouverait pour elles (ju'une seule valeur.

' ()4 ' Or les dérivées du premier ordre sont données par l'équation

Si « ;; I ,

si /'-— I, l'équation est indéterminée. On peut choisir pour /j, telle valeur que l'on veut, et, en particulier, on peut faire

Donc il existe une série satisfaisant formellement à l'équation (i), dont les termes du premier degié se réduisent à .r,, et il n'y en a qu'une.

2° L'équation (2) admet également une série qui lui satisfait formellement et dont les termes du premier degré se réduisent à jt,, et elle n'en admet qu'une, car elle est de la forme (r).

Les coefficients de cette série sont donnés par les équations

( W| -h m, + ...-(- /»„ — 1) Ile H- i! B, = o,

où les B, sont formés avec les dérivées partielles des coefficients des/) dans l'équation (2) comme les B avec les dérivées partielles des X.

Cette série ne peut être autre que y(-i'); elle est donc convergente.

'^" On peut former une équation auxiliaire qui soit de la forme (2) et qui nous aidera à démontrer la convergence do la série définie \y.\Y les é(|ualions { [\ ).

Soit, eu ed'et,

supposons (jue I (in ait toujours

imiu. — t:^ "

K (K ('■l;inl posilil).

ce qui est toujours possifile, d'après le théorème I.

Supposons que les fonctions X,, X., .... X„ restent liolomorphcs

quand les modules de a?,, x^, . . , .r„ restent plus petits que -(«étant

réel positif) et qu'en même temps les modules de ces fouctions X,. Soii

Xn, . . . , X„ restent plus petits que ^ , M étant réel positif;

L'équation - '

est de la forme (2) ; elle admet donc une intégrale liolomorplie

dont les termes du premier degré se réduisent ai-, et dont on peut calculer les coelFieienls à l'aide des équations (5) ou des équations

5 bis] K I w, — «J; -+- . . . -t- m„ — 1 l)z' -+- - K B, =: o.

4" Toutes les dérivées partielles de KX', d'ordre supérieur au prcmie'r sont réelles, négatives et de module supérieur à la déiivéc correspondante de X;..

5° Les De' sont positifs et leurs modules sont plus grands (|iic ceux des D- correspondants.

En effet, supposons (|ue cela soit vrai pour les dérivées d'ordre inférieur à celui de D: : je dis que cela sera vrai également pour Dr.

En elle t, soient B, l'un des termes B, B,, le terme B, correspondant:

où A représente une dérivée d'ordre supérieur ii 1 et A, une dérivée d'ordre inférieur à celui de D: : de même,

Kli„ /il^KX/iXiz']. I

A, ('3') est positif et de module plus grand (]ue celui de A,(r); A(^KX', j est négatif et de module plus grand que celui de A X^.). Donc KB,, est négatif et de module plus grand (]ue celui de B,.

Donc IKH, est négatif et de module plus grand que celui de lli.

De plus,

( 66 ) ost positil'ft de module plus petit que celui de

Done

e'est-à-dire D;' est positif et de module plus grand que eelui d

:sB

e'est-;i-dii'e de D:.

Or hi série

»(l . 1 .2. . .«ij. . . I .2. . ./«„

est convergente.

Donc la série

Ï)ZX"'' X'"- . .x"

.m,. 1 .2. : .m-.. ..12.. ./h„ l'est éiïalement.

DEUXIEMK SECTION.

Des cas où l'équation proposée est de la forme X,/^ H- Xj/Jj 4- ... -H X,,/;,, Z.

Xi.Xo, ... , \„, Z sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de a:,, jc.j, . . . , œ,„ z, s'annulant avec ces variables cl contenant des ternies du premier degré par rapport aux r et à ;.

i'hemieh cas.

Soit à intégrer les équations dill'érentielles cJxi d.r-, (lx„

X "^ x7^"'~ xT'

on l'on su|)pose les X indépendants de:; et oîi les termes du premier degré de .\, s'écrivent

Pour cela, nous envisagerons ré(|ii;Uion

où s est égalé à l'une des racines de ré(]ualion

se,:

Nous appellerons X,,).,, ...,X„ les n racines de cette é(iuation l'iO .

Uvpoihèse I. — Léquation ^16; n'a pas de racines inuliiples.

Hypothèse II. — Si l'on représente les parties réelles et imaginaires des >. par les coordonnées de n points dans un plan, ces n points smit d'un même côté d'une certaine droite passant par l'origine.

Hypothèse III. — L'un des/ n'est pas égal à une fonction linéaire ii coefficients positifs des autres /.

Lem.mk I. — Si V hypothèse. I est satisfaite, on peut ramenei par un changement de variah/es l' étude de rè(]uation ( 1 ;"> j à celle d' une équation de même forme, mais où les termes du premier degré de X,, X^, . . . , X„ se réduisent respectivement à

'l.,X,, IjX:, . . ., '/.„x„, c'est-à-dire à une éf/uutujn de la forme f 1 1 .

Soit, en effet, un cliangenient linéaire de variables

x,= ;i„y, -h ^aVi--

Si le déterminant des ,3 n'est |)as nul, on pourra écrire les é(|ualions (17) sous la forme

Les équations

dx, dx-i dr„ dz

evicnnent, après la transformation,

dy\ (/)■, dj;, dz

Les conditions pour que les termes du premier degré de 27i,X, se réduisent à X.y, s'écrivent

■/i,aii + "/i2 3(,,-i- . . . + y,„a,„ •/iia2i -H yn^ji -H . . . -h y,„a„,i

yil^nl H- •/l;gn-'+ ■ . . -f- yi„a„„ ,

d'où

[a,, — X, )yn + 5:i7ycj+ . . .-h ai„yi«== o,

:r,„y,i4- a„îy,,4- . . .+ (a„„ — >.i)y,„= o.

Ces é(juations, qui sont linéaires par rapport aux y,,- conduisent pour ces variables à des valeurs différentes de zéro , car le déterminant auquel elles conduisent est nul, puisque X, est l'une des racines de l'équation (i6).

La condition (jue les termes du premier degré de iy^^X, se réduisent à Xkjk permettrait de même de calculer les^A,.

D'après un théorème connu, l'équation (iG) n'ayant pas de racines n)ultiplos, le déterminant des-/ n'est pas nul. Donc des valeurs des y on pourra déduire celles des /3.

Donc on aura pu choisir les coelRcients du changement de val'iables (17) de telle façon qae les conditions posées à l'énoncé du lemme soient satisfaites, c'est-à-dire qu'après la transformation ré(| nation (i5) devienne

:iy,.X,9, -+- 2y:,X,-^, -h ... -4- iy„.X,-ç„ = Sz

ou

(20) Y,(7, + Yîg,-+-. . -+-Y„g„=:S2,

où

,/s dz __ dz

9'=;/t;' 'i'=dp: •■•• ^"-^'

el OÙ les termes du premier degré des Y se réduisent respecliveuu'Ul à ).,r„ À^-» • • • . >-.)-.-• '-• <^- ^'- "■

Lemme II. — Si rhvpothèse II est satisfaite pour F équation (i5;, elle l'est également pour l'équation ( 2a), et réciproquement.

Car^l'équation (16;, lirée de l'équation (iS;, a les mêmes racines que l'équation analogue tirée de l'équation (20).

Lemme III. — S'il existe une série, ordonnée suivant les puissances des X, qui satisfait formellement à l'équation (i5), cette série satisfera formellement à l'équation (20) après qu'on y aura remplacé les x par leurs valeurs en fonction des y, et réciproquement.

Lemme IV. - Pour que l'équation (i5) admette une intégrale hohirnorphe, il faut et il suffit que l'équation ; 20) en admette une.

Car toute fonction liolomorphe par rapport à n variables .r,, x.„ .. . , a7„ est également une fonction liolomorphe de n combinaisons linéaires

de ces variables,

'/hX, -+- y„X: -h. . .-h -/in r.,

pourvu que le déterminant des 7 ne soit pas nul.

Tm-oRÈME V. - Si les hypothèses I, II et IJl sont satisfaites pour l'équation' \j], cette équation admet une intégrale liolomorphe différente de zéro.

En effet, dans ce cas, l'équation '20), qui est de la forme ( ly, salisfait aussi aux livpotlièses I et II, c'est-'a-dire aux hvpolhèses I et II de la Première Section. Elle a donc une intégrale holomorplie différente de zéro, d'après le théorème III. Donc, d'après le lemme IV, l'équation (i '); admet aussi une intégrale holomorplie.