TROISIÈME SECTION

L'équation n'est pas linéaire.

Nous supposerons que, si l'équation proposée s'écrit

si X,, X;. . . ., X„. Z, P,, Po, . . ., P„ sont les dérivées du premier ordre de F par rapporta Xt,x.,, .... .r„, z,p,, p^, .... p,„ l'équaiion

<lx, (1x2 dx„ dz

satisfait aux conditions posées a l'énoncé du théorème V.

Nous supposerons que l'intégrale que l'on cherche se réduise à «j/fp-i, Uj, . . ., y.„, ] quand on y reni[)lace .r,, Xo, . . ., x^ par 5,, 5o, .... $„, et que, dans le même cas, p,.p^, ■■ .> Pn se réduisent aussi à des fonctions connues w,, ojo, .... '/)„ de [).,, tj.n, .... y„|.

On peut toujours supposer que, quand y.,, u.., .. .,;/„, s'annulent.

w,, ro, o)„ s'annulent aussi, car, s'ils se réduisaient à y,, y^

7„, on poserait

2 = ;' T- y, X, -J- •/, r, + . . . -j- •/„ a-,,, et l'on serait ramené au cas où les w s'annulent.

■74) Quand on lait

on a

\,-hp,Z = \,^p,Z = ...= \„-p,Z = P, = P, = ...= P„ = o.

3Iais quand l'équation (33) satisfait aux conditions posées à l'énoncé du théorème Y, toutes ces quantités ne peuvent être nulles à la fois (juand on donne à :;, aux x et aux/» des valeurs suffisamment voisines de zéro et annulant F, c'est-à-dire que les équations

sont distinctes, car, si elles ne l'étaient pas, le déterminant fonctionnel des premiers membres de ces équations par rapport à z, .r,, a-j, . . ., j:„, p,, P2, ■■■, p„ serait nul.

Or l'équation qui correspond à l'équation (16) est formée en égalant à zéro un déterminant qui ne diffère de ce que deviendrait ce déterminant fonctionnel quand on y annulerait z, les ,r et les/j, que parce que certains termes seraient diminués de l'inconnue S.

Donc, si le déterminant fonctionnel était nul, celte équation admettrait une racine nulle. Donc elle ne satisferait pas aux conditions posées à l'énoncé du lliéorëme V.