PROBLÈME II

Les équations

dx, dx, dx„ dz — dp, — dp„

~pr~"T7 l^^ ~ ï/TFTf " x7T/I7z x„ -+- /»„ z

admettent, d'afirès ce ([u'un a vu dans la deuxième section des intégrales de la forme

où les K sont des constantes arbitraires, l une variable auxiliaire, les >. des constantes données, les T des fondions lioiomorpbes de ;, des .r cl des/^ s'annulant avec ces variables.

{ 75 ) Ces intégrales peuvent se mettre sous la l'orme

OÙ lesysont des fonctions liolomorplies de K,/', K^/'- Kj,,^,^'"""'

s'annulant avec ces variables.

PilOBLKME III.

Soit à tromer une intégrale de

qui se réduise à quand on y fait

p [il.,, t/.j . . ., a„,

jr, = 9î ! u.,, t/.;, . . . , u„i ),

x„ = Q„ 1 a, , Uj, . . . , u„i ,

,S e/ /ei 5 eVa/?/ rfe5 fonctions holomorphes des u. s annulant avec ces variables.

Quand on fait

X| ^ Oi, X- 1=^ 6-, • • • ï -^B ^ ^n>

les/3 se trouvent assujettis à se réduire à cei faines fonctions des a : oj,, Ojj, . . ., co„.

Ces fonctions sont déterminées par les équaliotis

du.,

dO, d-j..

dO, dj.,

dp d'j..

de„

■ du., '

dO, du„.,^"'-

rfO.

du„ ,

PREMIER CAS

Les équations (37) donnent les oj en fonctions algébroïdes des u.. Ce cas ne présente pas de difficulté spéciale, et l'on verra plus loin comment on le traite.

DEUXIÈME CAS

Les équations (.37) ne donnent pas les oj en fonctions algébroïdes des p..

Les deux membres de cbacune des équations (37) sont bolomorpbes par rapport aux ij. et aux «. Donc, en vertu du lemme VI (I" Partie), on peut en tirer les w elles jx en fondions algébroïdes par rapport à n— I nouvelles variables

Vt, V;, . . ., y„i

et s'annulanl avec ces variables.

Donc fi, les 0 et les w seront algébroïdes par rapport aux v et s'annuleront avec eux. On est donc ramené au premier cas.

Exemple. — Un exemple fera mieux comprendre ce qui précède. Soit ré(|uatiun

Soit a trouver une intégrale de cette équation se réduisant à

quand

Xj = o,

jr, = p.^ + f/.]Wi.

Les écjuations (37) s'écrivent

Sy.] =^ &),(2i7., -(- p.j), 3p.j = oi-.y.i ■+- W| a,.

On ne peut tirer de ces équations les w en fondions algébroïdes des/x.

^lais posons

«, ^ Vi, W: = V: ;

il viendra

3 H; = Vip-i -I- v,y.,.

d'où

3 3uî — 2v,u,;' = v,f:(3 v.; — av.y.,, -!-v'y.,,

3(3ul— v,iji,]'= vî;3^i=— vjtx, -h v,;/,;,

équations qui définissent a, cl p.. en fonctions algébroïdes des v. De même, y.;, a; 4- /JL.pi,, p-i-r-y-o s'ex[)rimeraient en fondions algébroïdes des V.

CAS GÉNÉBAL.

Dans tous les cas on peut donc supposer :

i" Que les 0, fi et les oj sont algébroïdes par rapport aux u.:

2" Qu'ils s'annulent avec ces variables.

On peut toujours supposer que les équations de la forme

ST + A^, 5;"-' + . . . -^ A/A -r- A„

qui définissent les 5 par exemple, de même que celles qui définissent [: et les 'j), sont irréductibles, c'est-ii-dire ne sont pas un produit de deux équations de même forme.

On remarquera que, pour un môme système de valeurs des j., fi-, les 5 et les « sont susceptibles de plusieurs valeurs.

Soit

(il,,, f/j.,, . . . , ;j-«-i,t

un système fixe de valeurs des a.

Soit

Pt, 5,.., 6,,„ ..., 0„,„ 0),^, &).-,„ ..., w,,.

un système fixe de valeurs de /3, des 6 et des w, tel qu'en substituant dans les équations (Sy), à la place de

V.„ LJ.2, .... ,7.„-,, p, 0,, 0-, ..., 0„, £.},, Ml, .... W,„ fZ-Lt. f-).t, ••■> Wn-H. |3«i S,,„ 0:,„ ..., 0„,o, W,,„ Wj,„ ..., W.,.,,

ces équations se trouvent satisfaites.

Supposons maintenant que l'on fasse varier les ;j. d'une manière quelconque en partant du système fixe de valeurs

pour aboutir au système quelconque de valeurs

Supposons que [-i, les 0 et les oj vai'ient d'une manière continue en même temps que les a. en parlant du système initial de valeurs

ft qu'ils deviennent égaux respectivement à 3' bis ,S,, 5,.i, S^.E, •••, 0n,i, w,,,, Wi,,, ..., &j„,,

(juand les a deviennent égaux respectivement a

Nous appellerons les valeurs (87 bis) valeurs correspondantes de p, des !/ et des w.

Pour résoudre le problème III, il faut d'abord remplacer dans les T

-, X,, X., . . ., Xn, i>i, p.. • • . p,.

par

il viendra

les ij; étant algébroïdes par rapport aux p.. Si l'on n'a substitué à z, aux a; et aux/), dans les T, que des valeurs correspondantes de ,3, des 5 et des cj, les équations qu'i définissent les «j» sont irréductibles.

On appellera système de valeurs correspondantes des ■^ un système de valeurs de ces fonctions obtenu en substituant dans les T un même système de valeurs correspondantes de p, des Q et des oj.

H faut ensuite, comme on l'a vu dans la Section précédente, remplacer dans les équations (35) les T par les ^ g\. t par [}.„•■

z, les X et les p s'expriment alors par des fonctions algébroïdes en y.,, [U, .... [J.,,-,. IJ.';:> P-^S • • -, [J-T'"-

Si l'on a eu soin de ne donner dans cette substitution aux ij> que des valeurs correspondantes, les équations qui définissent :;, les .r et les /j sont irréductibles. On dira encore que des valeurs de z, des ce et des/j sont correspondantes quand on les aura obtenues par la substitution dans les équations (35) d'un même svstème de valeurs correspondantes des '^. Les expressions de :;, des x et des p que l'on vient d'obtenir donnent-elles l'expression implicite de l'intégrale clicrcliée?

Pour que cela soit, il faut et il suffit que l'on ait identiquement

(Iz ,/z ffz

J7,='P" 17 =P^- ■• ' 7hF„=P-

i" Je dis que ces conditions sont remplies, pourvu que les y. ne prennent pas certains systèmes particuliers de valeurs.

En effet, u,, ojo, .. ., &j„, [-j, 0,, O2, . ■ ., 0„ ne sont pas tous idcnti- (|uement nuls. Il en résulte que, pourvu (ju'on ne donne pas à ;/,, ;/o iJ.„, des valeurs qui satisfissent au moins à une relation donnée

on n'aura pas à la fois

On pourra toujours cboisir les y. d'une infinité de manières, de telle façon que les modules de [j, des w, des 0 soient aussi petits (pie l'on veut et que les y. ne satisfassent pas à

Dans ce cas, comme on l'a vu au commencement de cette Section, les

fonctions

F, IV, P, l'„,

\, -f-/»,Z, X, -;-/),Z \„-^pJ.

ne s'annuleront pas à la fois quand on y remplacera z, les/) et les -x par (3, les w et les !/. Mais alors les fonctions J sont identiciuemenl nulles, comme on l'a vu dans les Ce/ie>a/iVe* (P'' Partie); les équations (lui donnent z, x^, a-,, ..... x„, p,, p^ p„ en fonction des y. sont

( 8o ) bien l'expression implii'ite de l'iiitégrale, et, par conséquent, dz (h dz

d7,=p" di.=p" ■■■' d^,rp-

Supposons mainlenant que l'on donne à

y.,, u.-;, . . . , ;JL„, (k's valeurs qui annulent à la fois

et voyons si les expressions que nous avons trouvées représentent encore réellement l'intégrale cherchée.

Interprétation gc'omi'tiique. — Supposons que l'on n'ait que deux variables indépendantes ic, et x^^ et que, par conséquent, l'intégrale soil susceptible de représenter une surface S.

Il s'agit de déterminer la surface S de telle façon qu'elle passe par une courbe donnée C, j)assant elle-même par l'origine, et qu'en chacun de ses points son plan tangent P soit langent à un cône donné. Nous avons trouvé une expression de la surface S en égalant :;, .r,, Xn à certaines fonctions de deux variables auxiliaires /ji., et y.^-

Si, donnant à p., une valeur constante qui n'annule pas 0),, (.h, (3, 0„ 0,, on continue h considérer /Xo comme une variable, ces expressions de ;;, a-,, .r^ en fonction de [Jt, et [j.., définiront une courbe K,„ passant par le point

qui est sur la courbe Cet que nous appellerons m, et passant aussi par l'origine.

Nous avons vu que, si la surface S cherchée existe, la courbe K,„ en fait partie, et qu'elfeclivcmeni, tout le long de cette courbe, la surface engendrée parles courbes K,„ satisfait aux conditions de la définition de la surface S.

Supposons maintenant que p., tende vers une valeur qui annule à la fois les 0), ,'3 et les S, par exemple vers zéro, c'est-à-dire que le point m se déplace sur la courbe C en se rapprochant indéfiniment de l'origine.

Dans ce cas, ou bien p.j restera fini, et alors z, x, vlx^ lendi'ont vers

( 8i ) zéro, ou bien rj.j augmentera indéfiniment et z, x,, x., tendront vers des limites finies, c'est-à-dire que, quand le point m tendra vers l'origine, la courbe K,„ se rapprochera indcfiniment d'une cerlaine courbe limite Ko-

Il s'agit de faire voir:

i° Qu'à l'origine, c'est-à-dire quand

fi = o> ,"î < ■*-

ou quand

la surface engendrée parles courbes K,„ et par la courbe K„ salislait aux conditions de la définition de la surface S; 2" Que le long de la courbe K„, c'est-à-dire quand

f/, = O, IJ., ^^x ,

cette surface satisfait encore à ces conditions.

Hypothèse I. — Supposons donc d'abord cjuc les équations

soient distinctes, ce ([ui est le cas le plus général. Alors, pour (lue

l'on ail

et par consécjuent

o = F = P, = P. = . • . = P» = X, -+- p,Z = X. + />.Z = . . . rr: X„ -: p„7.,

il faudra (\nc l'on ait

la) p., = ,u, = fX3 = ...=//„-=o.

Donc, toutes les fois que ces conditions (y.) ne seront pas remplies, on aura, si f.„<;0.

dz dz dz

d^rP" d^r~P" ■■ ' dF„-P'-

f/ypot/ièselI. — On peut toujours supposer que les parties réelles des quantités).,, )... .... >s«-ki ^o>i> positives, car on a supposé ipie, si a,

( 82 ) et (3, sont les parties réelle et imaginaire de >,, les points dont les coordonnées sont a, et jS, sont d'un même côté d'une certaine droite passant par l'origine, c'est-à-dire que l'on a, quel que soit i,

A et B étant deux constantes réelles indépendantes de /.

Si les parties réelles des X,- n'étaient pas positives, on multiplierait l'équation F = o par A — tB.

).,, ).o, . . ., li„+, deviendraient alors

A — /B)X„ (A-iB,h, ■ ., (A~iB]h„^„ dont les parties réelles sont

\x,-hli^„ Aa, -^B3:, ..., A3:,„^, H-B.3,„H.,, et sont par conséquent positives.

Cas à examiner.

Le cas où l'on n'a pas

DU bien

ayant été examiné, il nous reste trois cas à considérer: 1° p.i = p-i = . . . = [J.„, = o, u.„ = 3c ; 2° ij.„ = o; mais on n'a pas à la fois

3" 'j.„ est fini et de plus

rnEMIF.R CAS.

Rappelons de quelle manière on a obtenu l'expressio» implicite de l'intégrale.

Dans les T, on a r(;mplacé z, les x et \esp par /3, les 0 et les w, et

les T sont devenus égaux à des fondions | des y., définies pnr des équations de la forme

où les A sont des fondions holomorphes des y. s'annuhint avec ces variables.

On a ensuite, dans les équations

remplacé les K, par 6, et t par y.,^, et les T se sont trouvés définis par les équations

(38) TT-h A^,, MÎïTr--' + . . . -h a; aif-'i''!, ~ A J u^"^ = o.

Il est clair que, si l'on annule a,, ou si l'on annule les n — i premiers p. sans rendre u.„ infini, on annule les T, et par conséquent r. les X et les p.

Nous allons d'aliord supposer que /j.„ tende vers l'infini en niénie temps que les autres f;. tendent vers zéro.

Les équations (38 j nous ilonnent une exjjression implicite de l'iiilégrale.

Dans les équations, les A sont des séries ordonnées suivant les puissances croissantes des a. de sorte qu'on peut poser

OÙ

y = K,y.',-u.b...y.^ri<

où K, est une constante, ,S,, jSo, .. ., (3„, des nombres entiers. L'équation (38 pourra alors s'écrire

Supposons que l'on fasse le changement de variables

OÙ X,, a. a„ , sont des constantes dont les parties réelles sont

positives et que l'on déterminera plus loin. L'équalion 38; s'écrira alors

( «4 ) où

el

Remarquons que, dans celte expression,

sont réels positifs, tandis que î<,, aj, ..., a„,, >., sont imaginaires.

On peut toujours choisir les quantités a, , «o. • • • > ««-) de telle façon qu'un ou plusieurs des â soient nuls pendant que les autres ont leur panie réelle positive.

En eifet, posons

et, =1 /t,OL + ill\, X: =; /i,a: -h (Vl:, . . . , a,, = fl„-iX + z/i„,, >., — •/], -t- jÇi, ),2 =: m -+- 1^2, . • ■ , >.i„+i = viin+i -H '?M+I.

Dans ces expressions, /«,, A^, ..., h,^^ sont des quantités positives et d'ailleurs quelconques, choisies arbitrairement; a et les k sont les inconnues qu'il s'agit de déterminer; les -/j et les Ç sont les parties réelles et imaginaires des X.

Dans chacune des équations (38) et dans chacun des coefficients A qui y entrent, prenons chacun des ternies y^ et considérons le â correspondant

ilont la partie réelle est

&/.-.?.,„^...+Êp ,,.,).„

Considérons les diverses quantités

comme

(85) ces quanlilés ne peuvent devenir plus grandes que

h étanl le plus petit des nombres A,, A,, . . ., //„, ;

T, étant le plus grand des nombres r^, r,^, . . ., r,,„+, ;

m, étant le plus grand des nombres m correspondant à chacune des

équations ( 38).

11 y aura donc une ou plusieurs des (juantilés ^4°) qui seront plus grandes que toutes les autres.

PREMIER CAS

En général, il n'y en a qu'une. Soient

|3,,., ?=...■•■,?»-.,.. Ko, ■/;.

les valeurs correspondantes de

on posera

K.ïi.

La partie réelle du o correspondant sera la partie réelle des autres ô sera

et elle sera positive, puisque

^ ~ p,,./«,-t- ^,.,fi,-h - . . ^ p.->,./'„-, ,3,/j. -1- "3,/h -<- . . . + p^, A„, ■

Quant aux quantités ^-i, À-,, ..., k„,, on les assujettira à la condition

^ 3,,,/r, -+- p,,J(, + ...-+- ,5„,.,/r„, i — Ç„ = o, Ço étant la partie imaginaire du / dont r,^ est la partie réelle.

Alors tous les o ont leur partie réelle positive, excepté celui qui correspond à j'i,,,,. fj-.,u, •••. i'3«-i,o. ''îo + '"Ço< et qui est nul.

Si donc on fait la substitution (39) dans les écjuations (38), ces équations prennent la forme

( 38 bis) o = T/' -h ë;-;t;"-' A;;;i, + . . . +t,-a'('' ?-'-""'■■ + a;"' i:; h,

où les A' sont holomorplies par rapport à £0, §3, . . ., |„, et à diverses puissances dev, dont les exposants ont leurs parties réelles positives.

De plus, dans l'une au moins des équations (38 bis), l'un au moins des A' ne s'annule pas avec v, quels que soient les S,.

DEUXIÈME CAS

Plusieurs des quantités (/jo) sont égales entre elles et plus grandes (jue toutes les autres.

Si le nombre de ces quantités n'est pas supérieur à /j — i, il n'y aura pas de difficulté; mais, quel (]u'il soit d'ailleurs, on pourra tourner la difficulté, comme on va le voir.

Egalons encore a à ce nombre positif, qui est égal à plusieurs des (|uanlités (4o) et plus grand que toutes les autres. L'expression (4i) sera encore nulle pour les â qui correspondent à une quantité (4'-») égale à a, positive pour tous les autres. On posera encore

où l'on donnera aux /3 et à Ç,- les valeurs qui correspondent aux tî dont on vient d'annuler la partie réelle. Si le nombre des écjuations f42) est

<; H — 1 ou =r- H — I,

on pourra clioisir les /■ de façon à satisfaire à ces équations, et, comme dans le cas précédent, les équations (38) seront ramenées à la forme (38 bis).

Si le nombre des équations (42) est

on ne pourra plus choisir les k de cette manii-re, mais on pourra le

( 87 ) faire de telle sorte que tous les o aient leurs parties imaginaires positives, excepté un nombre fini d'entre eux, que tous ceux dont la partie réelle est déjà nulle aient leur partie imaginaire positive, excepté un ou plusieurs dont la partie imaginaire devra être nulle. En elTet, soit par exemple

La partie imaginaire d'un c? s'écrit

(4^ bis)

Ir, 12, -■!:,.

Considérons d'ahord ceux des o dont la paitie réelle est déjà iiull.;; pour l'un au moins d'entre eux, Ç, est positif, sans (|uoi on changerait V— I en —s — 1 ; donc, pour /c, —o, toutes les expressions (/p hisj ne sont pas positives; pour k, positif et très grand, elles le sont toutes. On pourra donc choisir k, positif de telle sorte qu'il annule une ou plusieurs des expressions (42 bis) en laissant les autres positives.

Considérons maintenant ceux des 0^ dont la partie réelle est positive : il n'y en aura qu'un nombre fini pour lesquels

y 3 ^ 'c plus grand des g.x le plus prand des K

et, par conséquent, dont la partie imaginaire peut être nulle ou né,yative. Tous les autres & auront leur partie imaginaire positive. Posons maintenant

Dans ce cas, les équations (38 y s'écrivent

SI 0 = c H- f£,

5, = ( I — /6 J 0 ; [t -h In,] -+-/;£, — bti.

1" Pour un nombre fini des quantités c?,

( 88 ) alors

l-T-be,=^0, £| — /(£:=0, Ô, =: 0.

2° Pour un nombre fini des (juantités c?,

alors

e + 6c, >o, si b^ o.

':i° Pour un nombic fini des quantités â,

on pourra alors toujours choisir b positif el assez petit pourcjue

4" Pour un nombre fini ou infini des quantités o*,

£>o, e, >o; si 6>o,

En résumé, tous les â, ont leur partie réelle positive, excepté un ou plusieurs qui sont nuls. Les équations (38) prennent donc encore ici la forme (38 bis), c'est-à-dire que les T sont fonctions algébroïdes de $2, la, •••, In-o ^^ diverses puissances de S„ et de v,, dont les exposants ont leur partie réelle positive, et (|ue tous les T ne s'annulent pas, quels que soient les ?, quand v, s'annule.

CAS GÉNÉBAI..

Dans les deux cas qu'on vient d'examiner, les écjuations (.38; ont été ramenées aux équations (38 bis). En résolvant ces équations (38 bis) par rapport aux a?, à z et i\u\p, on trouvera

("es équations donnent l'expression implicite de l'intégrale, pouivn que l'on n'ait pas

a, = u.; = . . . =: p.„i =0 ou y„ =; o.

(89) c'cst-ii-diro pourvu que

y^o, ^^-o, ^ijo, ..., Ë„^o.

'Les cquiilions (38 his) monlront quo. quand les | tondent d'une certaiue manière vers cerlaines valeurs dilTcientes de zéro,

pendant que v tend d'une certaine manière vers zéro, les T tendent vers certaines valeurs finies et difl'érenles de zéro,

et que, par consécjuent, ;. !cs.r et les /; tendent vers cei'Iaines valeurs finies et dili'érentes de zéro,

Zo, x,,o, X,,, a"„.„, /;,.„, p,,„, .... p„,„.

Ces valeurs satislonl évidomment à l'équaiion

F(Zo, ^1,0, ■'''■1,0 , . • . : a"„.„, j>t, t., />■■,!>, • • • . p,i.i,] = o,

car F est une fonction continue de :;. des .r et des p, et Ton a vu (ju'ou pouvait satisfaire à l'équation F = o en donnant à ces variables des valeurs aussi voisines que l'on veut de

Zo, ^1,0, ■3^2,0, • • -, ^«.0, Pi,e, Jh.o- ■ ■ , p«,<,-

Il reste à faire voir que, pour

Pn,

i/.v, ' " (/Xj ' ■' ' ' ' dx„

OU que 1 ou peut prendre v et les | assez voisins de leurs limites [jour que

Z — Z.= (.Ti — a:,,,) (/7,,o+ £,)-)- [Xt—X,,t] (/>,,o -)-£,)-+-. . .-+- [X^— X„,„) [p„,,-t-i„],

où les iuodiiles de £,,£.., c„ sont aussi petits que l'on veut.

Or on a

dz <lz (h

f''=7iF,' P'^d7,' ■■■• P"=d7„

toutes les fois que

Considéi'ons un instant v. |o, S,, ..., |„ comme des fondions liolomorphes quelconques d'une variable t qui tendent vers

O, ?,.o, U^ ..., ùo

quand t tend vers zéro.

Remarque. — Remarquons qu'on peut toujours supposer que, pour

dz f/jr, (l.r-, dx„

dt' It'' 'W ■ ■ ■ ' 7/7

ne tendent pas vers l'infini.

En effet, un des T est donné par l'équation

(Sg) T"'-»- A„,T"-' H- . . . + A,T + A.= o,

où les A sont des fonctions hoiomorphes de diverses puissances de t dont les exposants ont leurs parties réelles positives. Si To est la valeur de T pour i = n, on aura

(T - To )'" -+- B„., (T - To)'"-' 4- . . . -1- B, ( T - T. ) -i- B„ = o,

où les B sont de même forme que les A.

Soit «''('»+''''') celle des puissances de t qui entre dans le développement de B,„K et dont la partie réelle est la plus petite. Si tous

les «K sont plus grands que i, — --" tend vers zéro quand t tend vers

zéro; or on peut toujours supposer que tous les a^ sont plus grands que 1, car, si cela n'était pas, on poserait

). étant un nombre plus grand (]ue tous les -j;» et l'on aurait