I. Intégrer les équations \ '\ j sous la forme

(.(■la revient à eliercliei' 2/i intégrales disliiuies de ré(|uali(in iinéaiie

<'^ l.di,^'-''-'--l,7U.''-7lzL'-f'--"-

Or un au moins des coellicients de celte e(|nation. I' par exemple, est differenl de zéro.

( 28 ) ClierchoMsdonc in inlégralesde l'équation \^) assujeltiesàse rckluire respectivement, qiiaïul .r, = o, à

fi[Xi, Xi, . ■ ., x„, z, p,, Pi, • . . , /'„)> ■ fl[Xt,X:, Xn, Z, p,, p., . . .,p„],

f,„(x-i. Xi, ... , X„, Z, p,, P:, • • • . p,,]-

1° Ouf,,/.,, ...,J.2,tSonl des fonctions holomorphes en .lo, .r^,

■<•», ^,/'i —,>■.. /'2 — V2 pn — y„-

2" Ou /.„ n'est autre chose que ce que devient le premier memljrc de F ^ o quand on y fait jt, = o.

3*^ Ou le déterminant fonctionnel des/ par ra[)port à

Xj, Xj, . . ., x„, z, p,, p,, . . . , pn

ne s'annule pas quand ces variables se réduisent respectivement à

On peut toujours faire toutes ces suppositions. Or, en vertu du théorème de M""' de Kowalcwski, les in intégrales ainsi définies sont holomorphes en

X,, Xi, ..., x,„ z, /;, — j-,, p. — Vî, •■•, p,,—);,,

el, d'ailleurs, la dernière se réduit à F.

Les intégrales cherchées du système (/|) sont donc

où 9,, 92 "p-^n-t sont holomorphes en a;,, a\., . . ., .r„, :, p, — y

II. Soit maintenant ;i amener les intégrales du système (.\) sous la forme ( 6 ) .

Cela revient à résoudre le système (5) par ra[)port à toutes les variables (|ui y entienl en fonction de l'une d'elles, en fonction de j-, par exemple.

Or le déterminant fonctionnel des ^p par rapport ii U;,, ...,a„. '•• />,, ...,/>„ n'est autre chose pour les valeurs initiales que le déter-

i 2<) ; ininaiil l'onctionnel (les y par rapport aux mêmes variables, iiui n'est pas nul, par liypollièse.

Donc le lliéoi-cmc de MM. liriot et Bouiiiicl s'applique, el l'on peut exprimer œ.,, j:'^, .... .r„, :;,. p,, p.^, . . . , p„ en fonctions liolomorphes (le.f, et des K :

(G) z = •]>,, .r, = 'ji,, ..., x„='^„, />, = 6„+, , ..., p„ = •]/;„. PROBLÈME III.

PREMIER CAS

TinioRic'Hi: I. — Dans le cas où

^i ' dxi

ne s' annule pas pour tes râleurs initiales des rariahles, l'iiiU^rale z est liolomorphe.

En etl'et, faisons un ciiangemenl de varialdes en posant Puisque

toutes les valeurs initiales des y- ne sont pas nulles; soit, par exemple,

— >o dx, '^

On pourra résoudre alors réqualion (8j par rapport à r,, et l'on aura

Xy = G(j% Xt, . . ., Xa),

G étant lioloinorplie.

Soient y,, r/^, ..., q„ les nouvelles dérivées partielles de z par rapport à

y, Xj, . . , x„\

clx,

Soient O,, Q. Q„ les dérivées de F |kii- rapport à y,, (j.. r/„ ;

011 aura

L'intégrale cherchée est donc assujettie à se réduire à une fonction

|j[G [y, Xi, . . ■ , x„), X., . . . , x„], qui est hohuiiorphe en y, x., .x,, quand

et d'ailleurs

Donc le théorème de M""' de Kowalewski s'applique, et :: est liolo-

nioiplie en v, -r,,, . . . , .r„, et par eonsé(|uent aussi en .r,, .z., r„.

Inicrpiilation géomctriqiie. — Supposons que l'on n ail que deu\ varialile^- indépendantes .r et r; l'intégrale

peut alors être considérée comme représentant une surface S.

Il est facile, dans ce cas, de trouver une interprétation géométrique de la condition (9).

L'é(jiiation F=:o signitie qu'au point

c'est-ii-iliri' il l'orii'ine. le plan tani;cnt V ;i la surface S est laniicnl ii un cone dduné (i.

Dire que riiUégrale z est assujettie à se réduire à [i, qunnd ou a i = o, c'est dire que S est assujetti à passer par une courbe donnée A (|ui passe elle-même par l'origine, et par conséquent (|ue le plan P passe par la tangente à l'origine T à la courbe A.

On obtiendra donc le plan P en menant par T un plan tangent à C. On pourra en général en mener plusieurs, c'est-à-dire que par la courbe A on pourra (aire passer plusieurs surfaces S.

Considérons une de ces surfaces. Dire (jucv,, v^, ..., v„S(riil Unis. c'est dire (|ue le plan P correspondant n'est pas parallèle h l'axe desr. Dire que

Vp,— >o,

c'est dire que T n'est pas sur le cône C.

A ces conditions, la surface S est rcprésentable par une éi|uatii>n où z est égalé à une fonction holomorpbe d'x et d'v.

DEUXIÈME CAS

y,, Vo, . . . , v„ restent finis, mais la condition 9! n'est pas remplie. Géométri(|uement, c'est dire que le plan P ne passe pas pai' l'axe des z, mais que T est sur le cône C.

Supposons d'abord que l'éciuatioii I" = o esl linéaiic.

Théorï-mi: II. — Dans ce cas, l'in/cgra/e z peut s'exprimer en égdlanl à zéro une fonction v liotomorphe par rapport à z etau-r x, et s' annulant avec ces varialdes, pourvu que, si

représentent les intégrales du système ( |;>" <pi» Çq. •••. ?« s'annulent avec z et les x, z — ^jcI 0 ne s' annulent pas identiquement à la fois quand tous les 0 sont nuls.

En etfet, si une pareille expression de l'intégrale existe, elle pourra s'écrire

(lo) <l>;o„ 9,, . . .,9„; =0;

ç,, '^2' • • •' ?«> étant les fonctions qui, égalées ii des constantes, représentent les intégrales du système (4), sont, comme on l'a vu (ré.solu-

lion (lu Problème II), holomorplies |);ir r;ippurl à g et aux x et s';mnulent avec ces variables.

De plus, tl> devra être identiquement nul (|uand on aura à la lois

(il) . s-(3 = o, O^'-o.

j'aisons un changement de variables eu prenant pour variables nouvelles a;,, 'f,, ip-j, 0.., ç„; nous aurons

les t|i étant holoniorphes par rapport à a:, et aux 9 et s'annulant avec ces variables. {Voir\'A résolution du ProblcMnc II.) Les équations 'i i) deviennent alors

B et C étant bolomorpbes par rapport à -r, et aux 9 et s'annulant avec ces variables.

On trouverait l'intégrale (10) en éliminant a-, entre ces deux équalions.

Or B et C ne peuvent être identi(|uement nuls, quel que soit -i, (juand les tp s'annulent, sans quoi l'on aurait identiquement

2— [3=o, B — o (juaiid

Cp, = O, =r . . . = o„ i^ O,

ce (|ui est contraire aux hypothèses faites en commençant.

On pourra donc tirer (Lemme III) de C = o, par exemple, .r, en liinclion algébroïde des 9; si l'on substitue cette valeur de ar, dans h, cette dernière fonction devient algébroide par rapport aux 9, c'esl-àdire qu'elle est liée aux y par une équation (h; la forme

où les A sont holoniorphes pai' rapport aux 'f.

L'équation B = o estaloi's équivalente a A„ = o,et h; premier membre de cette étjuatiou, qui n'est autre que l'intégrale (to) cherchée, est holomorphe par rapport aux 9.

Donc, si l'on remplace les ? par leurs valeurs, A^ devient une fonc-

liuii <1' holomorplie en z,.r,, a-., .... a?,, et s'anniilaiU nvec los varlahles. el l'intégrale cherchée .s'exprime en égahuit celte fonction ii zéro, ce qu'il fallait démontrer.

TROISIÈMK CAS.

Les V restent finis, la condition ()} n'est pas remplie, mais l'équalioii F = o n'est pas linéaire.

fm;oiti:AiK III. — Dans ce cas, l'intégrale z peut s'exprimer en égalant à zéro n -+- i fonctions V,, Fo F„+, holomorphes par rapport

à ;. X,, x... .r„. /;, — >',, p. — y. p„ — v„ et s'annnla/it avec

ces imriahles, pourvu que, si

o, = K,, o,, =rK„ ..., 9,„=K,„

représentent les intégrales du système IV, si -^|, çs^, . . . , o.,„ s'annulent quand z et les x se réduisent à zéro et les p aux y, z — fi,, p, — w,,/jo — w... . . ../>„ — 'j},„ 0 ne s' annulent pas identiquement à la fois quand

En ellcl, en raisonnant comme on l'a l'ail p()ur le ihéoième précédent, on verrait (jne [)0ur obtenir l'intégrale cherchée il suffit : 1° De changer de variables en posant

les 0; étant les fondions qui sont détinies dans la l'ésolnlion des é(|ualions (4) sous la forme (6);

2° De faire cette substitution dans les premiers membres des (■() initions

(|ni deviennent alors

les B étant des fonctions holomorphes de t , cl des -^ s'annulani avec ces variables;

3" D'éliminer r, entre ces « -1-2 c(|uations.

Or B,, Bo, . . , B„+2 ne peuvent être identiquement nuls a la lois, quel que soit x,, quand les ç s'annulent, à cause de la condition de restriction posée au début. Supposons, par exemple, que ce soit B„+2 qui ne s'annule pas identiquement dans ce cas.

On pourra tirer de B„+2=o x, en fonction algébroide des ç; substituant cette valeur de jt, dansB,, Bo, . . . , B,,^.,, ces fonctions deviennent algébroïdes par rapport aux cp (Corollaire II du Lemme III).

L'intégrale s'exprime donc en égalant à zéro n 4- i fondions algébroïdes des 9, ou, ce qui revient au même, en annulant « + i fonctions liolomorplies des ç ou, ce qui revient encore au même, n -^ i fonctions bolomorphes en z,j:^,,ôr2, . . ., x„, p, — y,, p.y — y-2- •••./'« — .v„.

Théorème IV. — Si, dans le troisième cas, z ou les p rie prennent pas une forme indéterminée quand les x s annulent, z- (st une fonction algébroide des x.

En effet, on vient de voii' que l'intégrale chercbée s'exprimait en égalant à zéro n -h i fonctions bolomorphes en z, x,, x.,, ..., x„, p, —y,,p2 — Y2, •■•,/»„ — y„ et s'annulant quand on égale : et les .r à zéro et les/» aux y.

Soient

H,=:Ii.= H,=.. =H„+, =0

CCS n+i équations. Si ces équations restent distinctes quand les ^ s'annulent, on pourra leur appliquer le lemme IV.

ilais dire qu'elles ne sont pas distinctes, c'est dire que z ou les /> cessent d'être déterminés quand les x s'annulent. Or cela n'a pas lieu, par hypothèse; donc le lemme IV est applicable, donc z est une fonction algébroide des x. c. q. f. d.

Remarque I. — 11 est facile, dans le cas de deux variables, de trouver une interprétation géométrique des conditions de restriction posées dans l'énoncé du théorème précédent.

Dire en effet que :; cesse d'être déterminé quand x et 7 s'annulent, c'est dire que la surface S |)asse par l'axe des z.

Dire quc/j et q cessent d'être déterminés quand x et v s'annulent, c'est dire que la surface S présente un point conique à l'origine.

( 35 ) Si aucun de ces ileux cas ne se présente, le lliéorèine IV est applicable.

lieman/tie 11. — Dans le second cas. les n -^ i équations

se réduisent à une seule où n'entrent pas les/;.

Le ihéoiènie IV sera dDnc applicable toute? les fois i|ue r ne deviendra pas indéterminé quand on annulera les r.

Théorkme V. — Dans le deuxième et le troisième cas, l' intégrale cherchée peut s'exprimer en égalant : et les .v à des fonctions algrbroides de n nouvelles variables v.,, u.„ u.„.

En eirel, il sulRt. pour démontrer ce tbéorème, de se reporter aux équations

et de leur appliquer le lemme VI.

Les premiers membres de ces équations sont bolumorplies par rapport à z,p, — V,, /;o -V,. . . .,/?„—>'„, a",. »„• Donc r, r,. ... , •<„

peuvent s'exprimer en fonctions alitébroides de n variables auxiliaires

a,, IJt.; '}„■

Exemple 1. - Soit à trouver une intégrale de l'équation p + q^ ^ qui se réduise à .r -h x^ quand on y l'ail j = ar -+- X'.

Les équations "\ j , qui s'écrivent

dx ^" (^

ont pour intejirales 5 s a- = K„ y-x--}\.,

En rpinplaçant : el y par leurs valeurs '6) dans les é((ualioiis

il vient

ou, éliminanl a-, OU

[z — xv^ix — xy.

On étail placé dans le. second cas, car l'équation proposée est linéaire cl

C'est pourquoi on est arrivé à exprimer l'intégrale en égalant à zéro une fonction holomorplie en r, j, : :

[--■'^r-ir-^]'^

de plus, cette fonction ne s'annule pas, quel que soil ;, quand .x=y = o.

Donc le théorème IV s'applique et : est algébroïde en x et en v.

Exemple II. — Soit à trouver une intégrale de l'équaliou l>~q i-iZi^i i\{\\ se réduise à - quand on fait

On est encore placé dans le second cas, car l'équaliou est linéaire f't la condition (9) n'est pas remplie. Le iliéorèmc II s'appli(|ur donc. Les équations (4), qui s'écrivent

clx dz dy

ont pour intégrales

en remplaçant/ el z- par leurs valeurs ^6 dans les équations

il vient

iiu, crmiinant ,r,

ou

qui est l'intégrale cliercliée, exprimée par une é(|uation dont le secoml membre est zéro et le premier une fonetion holomorplie en a, v, z. .Mais ici l'équation (12) est satisfaite, quel que soit r, quand

Le théorème IV ne s'apprK]ue donc pas.

Exemple III. — Soit à trouver l'intégrale de p'-h q = x — y,

(lui se réduit à - pour v = -■

Les dérivées partielles/» et q sont alors assujetties à se réduire (|uand

p= I rr sJx.

7 = — I =p 2 \Jlx.

Les valeurs initiales de p el g sont i et — i, et par conséquent finies; de plus, la condition 9^ n'est pas remplie; on est donc dans le troisième cas, et le théorème III s'applique.

Les équations (4;. qui s'écrivent

dp flq fix il y i î zp l

ont pour intégrales

(5) , y ^ p =zK,, g ^ p =K:, p,— q — X — )- — K ,

( 38 Si, dans les équations

r --= — ) i p — l'r — 3x r- o on remplace (/,y elx par leurs valeurs (G;, il vient

aK, -r 2p = p- - k:— K, — K,

Ces équations peuvent s'écrire

aK, -r- I = (/^ — i]'+ a, [p — I ■ = 3/r -T- Sx;

•en posant, pour abréger,

K -K,-K,=ra,

li'où

et remplaçant dans la première équation p par sa valcni-, il vient

''aKi-i- I — \a.

, /21V, -Hl

Si dans cette relation on remplace a par K^ — K, — K,. pois K, et K. par leurs valeurs ' 5 j, K3 |)ar zéro, ce qui peut toujours se faire. pnis(|iic

on aura une équation entre />, q, x,y dont les deux membres sont liolomorplies par rapport à ces variables.

Otte relation, jointe à . •

(lelinit/y et q en fonction de x et de y. Si dans l'équation

on a\ait rcmphicé :; (;t x par leurs valeurs (6), puis^[)ar sa viileur i\'i).

^9 ) puis K,, K,, Kj par leurs valeurs f51, on aurait ol)tenu une t''(]uati(in dont les deux membres auraient été liolomorplies par rappoi't à z,.i\ y. p, q.

s, p et q se seraient alors trouvés définis pai- trois équations ayant leurs deux membres holomorphes en z, x, y, p, q, comme l'exige le théorème III.

Voyons maintenant si le théoième IV s'apjtlîque.

Pour cela, voyons si, en substituant dans l'équation 14 , a la place de a, K,— K,— K3, à la place de K,, Ko. K3 leurs valeurs (5;, entin, in faisant a; = ^ = o, l'équation en/) et en q que l'on obtient ainsi est distincte de p.,-^q^:z o. Mais si, dans les expressions ' 5 ,, on fait

il vient

L'équation (i/j) transformée ne contient pas q; donc elle est distincte de/>, -I- 9 = o, pourvu qu'elle ne se réduise pas à une identité. Or on voit facilement que son premier membre est du degré 2 en /», tandis que le second membre est du degré 4- Donc les deux équations sont distinctes. Donc, en vertu du lemme IV, on peut tirer de l'équation i4 non transformée et de

p t\.q en fonctions algébroïdesde x et de y.

Donc :; sera aussi une fonction algébroïde de x cl v. Donc le théorème IV s'applique.

Calcul des coefficients.

Dans les exemples qui précèdent, on a formé les fonctions H, , H... ...

Hnn-i qui. égalées à zéro, donnent l'expression de l'intégrale |)ar la méthode même qui a servi à en démontrer l'existence; mais, en général, il est préférable d'en calculer dire( tement les coefficients par le procédé que je vais exposer rapidement.

Équations linéaires sans terme constant.

Soit l'équation

dx, dx2 <iXn

cl soit à en trouver une intégrale qui se réduise a

'Ç>[Xi, Xz, . . ., x„\

quand on a

On a vu (jue pour trouver celle intégrale il faut : 1" Remplacer x.^, • • -, i",, pai" les expressions

les expressions o — fi, 0 deviennent alors liolomorplies par rapport à x, et à ^,, s.,. . . ., ip„, ;

2" Résoudrr par rapport à .r, l'équation

ainsi transformée et remplacer x, par sa valeur dan> l'equalion

également transformée;

'3" Hem|)la(er dans l'équation

après celte double Iransformalion, 9,. 92 ?«-i P'"' lt;nrs valeurs en

fonction de x,, x-, x„.

Si dans l'équation 0 = o, après sa Iransformalion, la première des dérivées partielles de 6 par rapport à .r,, qui ne s'annule [)as avec les j-,

esl -, — ; celle équation donne a-, en fonction algébronle de dci;ré///, de dx'" ' °

'v,, ©2 9n i ; donc 9 est également algébronic de degré //i en ç;,,

'^2 '^„^,, et. par conséquent en j:-,, Xo x„.

( 4' '1 Si, par exemple, on a

quand les xsont nuls, ç; sera donné par une équation de la forme o'-f- A,9 — \,^ o,

où Ao et A, sont liolomorphes en J7, , J7o, ....a-,,.

Ce sont les coefficienls des deux séries A^, A, qu'il s'agit de calculer.

Pour que ce qui suit soit plus clair, nous emploierons les notations suivantes.

Nous poserons

,. du ,. ihi ,. du

ax, ax, dx„

Il étant une fonction quelconque

A-M = A Am , . . . , A"" H ^ A A""' it .

De plus, nous remarquerons que, dans les calculs qui servent à démontrer l'existence des fonctions Ao, A,, on a employé deux systèmes de variables :

(l5 ^ X,, Gi, . . ., o„,.

Nous représenterons les dérivées partielles par le symbole </ (|uan(l les variables i4, seront choisies comme variables indépendantes, par le symbole ;> quand ce seront les variables i V qui joueront le même rôle. Cela posé, voyons d'abord ce que signifient les conditions

dx, """ i)x\ ' âx'"'' ' dx"' "^

qui doivent être remplies pour (jue -^ soit alj,'cbroide de degré ni. Ou a

ÔO

dO d'h, d'j dà.

dO d'l„

ôx,

■~ dx,

dx, dx, dx, dx,

■ ■ dx„ dx, '

Or

Donc

I dx, dx,

OrX, n'est pas nul, on peut toujours le supposer. Donc la condition

équivaut ii De même,

Donc les conditions équi valent à

<7x; ox, Ox,

i)x, Ox]

Donc les conditions (i6) équivalent a

le — i'e—...=\'"-'0 = Q, A-6^o.

Donc, si le premier des A5, qui ne s'annule pas avec les x, est A'"!/, V est algébroide de degré m par rai)port aux-o- et s'exprime parrécjua-

lion

Je dis qu'on a identiquement

). étant une lonclion liuloiuorplie par rapport au\ v, et, de plus,