AA,= AA, = ... = A A„
En ellét, posons
5,= Oix,, V -n-p
<;l considérons 0, comme une nouvelle variable. On peut tirer .r,,*n l'onction algébroï Je de degré m, de 9 ,■/„-! etde!/,.
Soient
les m valeurs de r, ; toute fonction symélricjue de ces m valeurs est lio-
lomorphe en ç , 9,, , , 5,.
Soient
les w valeurs que prend ^î quand on y remplace 1, par
Soient B„. B B,„, les coelTicients de l'écjuation
à laquelle satisfont ces m valeurs de /3.
Ces B seront des fonctions bolomorphes en .i\ , . . ., ïJ" et en œ
î»,,-,, et symétriques par rapport aux m premières variables. Donc ce seront des fonctions bidomorplies en 9,, . . ., 5„,, Ci, .
Éliminer .r, entre les équations
où l'on considère les variables (r5i comme variables indépeiidiiMles, c'est éliminer 0, entre
Donc, en faisant 5, = o dans
B„, B,, ..., B„„ ces fonctions se réduisent à
Les A étant fonctions des 9 seulement, on a idenliquenienl AA.= AA, = ...= AA„.r-".
( ^4 } De plus, on a idontiqnement
les X élant holomorphes en f ,, ç^ ?«-!> 5,. Or ,'3 satisfait identiquement à l'équation (17). Donc on a identiquement
,>-+- A^-.jS"-' -h . . . + A,(3 -i- Ao= À9,,
/étant iioloniorplie en 9,, Çj, ....'f,,.,, $,, ou, en reprenant les variables ' 14).
À étant liolomorphe en a-,, j-o, .... a?,,. c. n. f. d.
L'existence des fonctions A qui satisfont à ces conditions est démontrée; il reste à trouver leurs coefficients. Pour cela, nous supposerons que l'on n'ait que trois variables j:,, x.^, x^ et que
c'est-k-dire m = 1.
Prenons le A des deux membres de l'équation (iS;; il viendra, puisque AA„ = AA, = 0,
(19) A;3=-}-A,A^ = /A{i-f 5AX.
Cette équation et celles que l'on obtient en la ditférentiant un nombre quelconque de fois par rapport à cliacune des variables nous donneront, (juand on y annulera les x, des relations entre les coelHcients de A, et de >., et ce sont ces relations qui vont nous servir à les déterminer.
Si U est la différence des deux membres de l'équation (19), on calculera donc les coefficients de A, et de X à l'aide des équations
(IV] r/U di: f/'U (/'U
t/x, dx, dXi dx\ dxtdx.
X,^^ Xi^i- o.
Mais on peut remplacer le système
rfU JC (Il dôc, ~ dx, ~ dx, "
par le svstème
,/[• rfU ...
</x, dXi
el le système
(N3 d^tM^^ ^/'U ^ '/'L' ^ d-\i ^ ^ (Trî ~ dx\ ~~ dx\ dx.dx-, dx.dx^ dx^dx^
par . .
'dx^\ ~~ dx.dx. '~ dx] dx, dx,
et ainsi de suite.
Ce seront ces nouveaux systèmes que nous emploierons à la place .les
PREMIER CAS
Dans ce cas, l'équation U = o donne A, =0; ré(|ualion l'"\ =0 ne
contient que
Les équations
' o = AL = Aa' = A'L=...
nous lourniront donc
L'équation ^ =- o m contient que A. et '^^^ t'"'' P^'''"^^ ''^"^' '''' calculer ce dernier coefficient.
L'équation ^^^ = « "^^ contient que A,, des termes de la forme
d\, dl dM dA""/.
■^'' ^^ di: d^: ■^' •••' àx.
Les (•(lualions
dx, dx,
nous pt-riiieltront donc de ciilculcr
dl d\l dx, dx,
De iiièmc, si D esl le symbole d'un nombre qiieIc(Hi(|iie (b- (l'ilfércnliations par rapport à .r, et à .r,, les équations
o = DU = d;au) = d(A'U ! :^. . .
[lerinettronl de calculer
DA, = D/. = D(A)i = .,
pourvu tjuc l'on ail résolu préalablement le même problème |iour les (lillérenlielles de A,, >., AX, ..., d'ordre inférieur à celui de D.
Quand on connaîtra tes coefficients de A, et de X, rien ne sera plus facile que de calculer ceux de Ao, et alors -> sera connu, puisqu'il suffira de poser
9=-!- AïO -i- A„= o.
DEUXIÈME CAS
Dans ce cas, o se présente sous la forme
o'+ A,3 -+- AïO H- A|,= o,
l't l'on a identiquement
(3'+ A, (5^-1- A, 3 -f- Ao— >.6, AA:= AA, = AA.= o.
On part, comme précédemment, de l'équalioii
U = Afi'-+-A,A[5'-+- A,A^- }.\0 - OM—o
cl (les équations obtenues en la difl'érentianl , et Ion voit tiH nii-nt i|ne
U =: o donne A,,
AU = o ., A„
A'Ur:^0 » À,
•'t, en i,'eiiei;ii.
d.K, dx,"
