Calcul de D (2). — Supposons N = 0 (mod

Sd) Se) (SE) = St ) |: ” (* |

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. 2] Le crochet est nul, à moins que dij+d=0o (mod5),

ce qui n’est possible que si

Donc

et NT d— 20 LL

ue : y N t et t, sont donc deux diviseurs conjugués de = ; donc N

et cette formule s'applique encore dans le cas où N est multiple de 5 et non de 25, parce qu’alors DR:

Elle s'applique aussi dans le cas où N = + » (mod 5), mais non

dans celui où N = + 1 (mod 5).

16. Les mathématiciens allemands envisagent diverses fonctions des diviseurs dont je vais chercher les expressions,

D'abord

Puis dans le cas N = Æ 1 (mod 5),

Fu(N)= 24 + ()a+ Lan ES

e, = 0 si N n’est pas carré; €,— 1 si N est carré. On en déduit tout de suite

YN)+ Wu CN)=DIN)+W(N)= A +,

22 JACQUES CHAPELON.

puis

l <(VN T,,(N) — Y,(N) — nu (S)a+e, VN (ee ) :

Supposons N = 1 (mod 5). On constate alors aisément que a) (are Lu ET 0

d' étant indifféremment d, ou d (d,-£ d).

Donc

Ke d; y d ES d, + d 2 i y d, + d ME |

ad (MES) 244, 4) D(S)e= (SE )a—asce() + sd 2), puis (b) 2) (S)d=X(S)d—22( NES) +3, dy:

mais dans (a) d, est différent de d. On ne passe donc de (a) à (b) que si N n’est pas carré.

Si N est carré, on a évidemment

NN d, d VN L(F)e=X(H)a+ x (6)e+ (Avr Donc, en définitive, pour être tout à fait générale, la formule (b)

devra être remplacée par

D (5) Joue ES => (S)- 32 (4, 4) (AS) + (dd).

formule qui permet d'exprimer T,,(N)—Ÿ,(N) au moyen de nos

fonctions.

On en déduit aisément Y., (N)=54+ =B+p—U, (31) ; ; [N=1(mod5)], VuN ZA + À,

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. 33 de même I Lee (32) | [N=--1(mod5)].

W(N)—= = A— Hp 5%, 2 2 Puis, si N = 0 (mod 5),

(33) D(N")— € 17. Analysons enfin la fonction 5 (N) de M. Gierster

Supposons N = 0 (mod 5).

Adjoignons à 6 la fonction 6,

ne 5[(#)- (474

ci(N) Gr s(N), o(N)— o(N).

et calculons

Il est d’abord aisé de constater que

CAES)

CN) + e(N)=— (di + d) (* 4),

donc

B(N)—6(N)=— 2 (di — à) (+

Il faut donc calculer

Un des nombres d ou d, admet en facteur 5”. Ainsi, un des nombres d'ou d, est ?’, l’autre est de la forme 5°>.

E(d+d) (TEA) = 32" (4) +522"),

Donc

3 et 5” étant deux diviseurs conjugués de N”.

24 JACQUES CHAPELON.

Dans la première parenthèse du second membre, un des nombres d, d, est $”, l’autre est 5°°7.

Cette parenthèse est donc

tp

ot]

7 « A Dans la seconde parenthèse (‘ ee

“), un des nombres d, d, est =”,

l’autre est 52”. Cette seconde parenthèse est donc encore