Supposons N = +: (mod

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. 17 On a trouvé (n° 100)

30 (AN) — I (AN) = [390 (N) — 96, (N)], TAN) — 62, S(4N) +8 (N) A, PEN) = B(N);

il en résulte, par la formule (1),

À - 36 6 (13) 3(28+h) +20 — 6% AT TS avec N = + 1 (mod10). Les signes supérieurs se correspondent et les signes inférieurs aussi.

En formant alors les combinaisons conduisant aux premiers

membres des formules de M. Gierster, on obtient, si N = 1 {mod 10),

SHIGN— (50H 1) ]=ZER [AN—(5o+i)]= 34, SHI[GN—(50+2)]=2EF, [4N—(50+2}] — zA—-H+4, SHI[4N—(50)] ZE [4N—(50}] — 2B+p—3, ee eo et, siN—=—1{(mod10), SHIGN—(5oH 1) ]J=ZF[AN—(5oti)]= 3 A4+-8+, ZHL4N—(50+2)}]=ZF, [4N—(50+2)] — +2, ZHI[4N—(50P] —ZE[4N—(56)] —=— 2B+p— 3, nf | sr ET) a

Ces formules sont équivalentes à celles de M. Gierster (n* 2 et 16). M. Gierster introduit les symboles H,,(A) et H,(A) qui désignent respectivement des nombres de classes de formes susceptibles de re-

présenter des nombres résidus quadratiques de 5 ou non résidus.

176 JACQUES CHAPELON.

On passe d’une notation à l’autre en remarquant (") que HA = eau #(A)=H,;(A)— 5 (A}— 0

La relation (13) permet d’ailleurs évidemment de simplifier les

formules du n° 129. Nous donnons les résultats plus loin. 120. Supposons enfin N=5(mod1o).

Les formules de M. Gierster (n° 2) s’obtiennent sans peine. Nous avons, en effet, calculé o(n), ®(m) ..…

Par exemple,

DBACGN— 2°) = 2 Gen UE )]

æx=0 =: SF,[4N—(108+5}]+ZF[N—(50)] > N N cEs LÀ + 2e a.

ZEN -(5c)] a(+) v(3)| An nt ve OR ES pP— 4 d’après le n° 15.

Le second membre s'écrit encore L'évitnu (y) 2 5 fl ls OnN 71,0% done D(m)=U, N Herr (> Er “(DR 25 En puis 5 N N ÊHAGN—a)= tm) +30(5)+ew (5) cor

(*) Voir la Note placée à la fin du Mémoire,

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. n7

AAI. Formules de M. Gierster : cas de N pair. — Supposons N = 4(mod 10).

Les formules (1) et (2) donnent

2 » | at — 9 \u+3 (14) 3(281+ 2 La + À, + vbs) — 20, — (au — 5) Ù — 2 L: + y J J) 28 12 > 1 en 5 05, ) J )

On en déduit

HN tool

SHIGN— (5041) ] —3E jA+- BH ZHLGN— (5042) ] =D [AN— (50 +2) ] = 52,

ZH[4N — (50}] ZE [AN—(50)] —=—-8+9— 7%,

SH GN—(55+1) M. GN—(5pE1} 1 Le 1, FA D 25 vos 2) D Ne

[N = 4 (mod 10)],

qui sont des formules équivalentes à celles de M. Gierster.

142. SSN=—/(mod 10), on trouve de même (15) DS ee el) ut: ” . LI PCT puis ZHI[4N—(50+1}]—2E, LAN— (55 1} ] =,

SHI[AN— (5542) ]—ZE [4N—(50+2}] = 51 -5+ 4,

ZHÇGN— (55)] SF [AN (5o)] —=-#5+9 — 1, HR ES pete EE ire 2) lé 29 19 10 J

[N = — 4(mod 10)].