SH[4AN—(50+1)]—SE[4N—(50+:1}]=?Y

SH[AN— (50H02) ]= ER IAN—(5o+2)]= 5 A RL SHIGN —(5o?] —ZXE[4N—(56}] = 34

Si enfin N =o(mod10o), les formules du n°152 donnent sans peine,

par les combinaisons convenables, les formules de M. Gierster.

1424. Formules définitives. — Nous avons déjà traité aux n° 137, 1358 et 139 le cas de N impair.

Supposons m impair et congru à 2{mod).

On a trouvé n° 1358

SFif4m—(50+1)]= SU; d’où, en posant 4m—N, $ = ee (17) SFIN— (55 +1)]= 3 U=° ; ii

puisqu'ici ==,

Nous avons remarqué plus haut (n° 155) que, siu=1, 2RIN= (So Er) | "0.

Donc la formule (17) s'applique encore dans ce cas. Supposons 22 pair et congru à 2(mod 5).

On a trouvé n° 145

2Filamnm—- (55 Er} |—=

avec m— 2" n (x impair); d’où, en posant 4m—N, à I 2FIN— (56 +1P]= 3 (28—2)U;

ce qui montre que la formule (17) s'applique, quel que soit N pair et congru à 8(mod10). Alors, par comparaison avec l'expression déjà

obtenue pour le premier membre, on trouve ni 61 ge ; (18) 3(282 + Li) = M + br U+ ts +- (= 2) 0

et, par suite,

DH T 5 I DA N O cnee T ns En [ Del 6 31 000 ë 2h

De mème ZFi[4m—(50 +2} ]—=D(m),

d’où, en posant HUUEN,

ee : ; [NN (19) SFIN—(5o+2)]= (7 )

formule qui n’est vraie que si N est multiple de 4. On sait (n° 155 que

si N est multiple impair de 2, le second membre doit être remplacé

Porezcro Or sb u— 1, lesecondhmembre devient, zéro n°10; remarque 3). Done la formule (19) est vraie dans tous les cas où N = 8(mod 10).

On a aussi | SFIN— (552) U+ (7); puis, de même ab tr ZFIN—250]= —5—ÛÙ, 2H— 7]

En comparant les équations (16) et (18), on trouve

Se :

(20) 3(2Zi + V1) =— 200 + (a+ :) U + = D JDE ENS

d’où l’on déduit

se = e SE[4N— (100 +3) ]=ZF[4N —(100+3)] =" = SU 5 des

) VAE Dee SEL4N— (105 +5} ]—=2ZF[4N — (106 + 5} ] — ——U— gr

145. Les autres cas conduisent à des caleuls complètement analogues. Nous avons réuni les résultats au n° 148 pour N non multiple de 5. Pour N multiple de 5, les résultats ont déjà été donnés aux n° 150 et 152.

446. Notre méthode nous a permis de retrouver les résultats de M. Gierster. Nous donne-t-elle quelque chose de nouveau ? Supposons d’abord N non résidu. Nos formules donnent douze rela-

tions dont trois pouvaient êtres écrites & priori, Savoir : ZFI4AN— (105 ta) ]—=[2—(—1N]ZF [4N— (105 Etax)] (= to ou0) Trois autres résultent des formules de Kronecker donnant les sommes SE(N—o), ZE(N—0t), ZFJGN (20 +].

Enfin deux autres coïncident avec les formules de Gierster que je ne compte que pour deux parce que l’une des trois formules se déduit des deux autres grâce à la relation de Kronecker. Nous obtenons donc, en définitive, quatre relations nouvelles. Si N est résidu, nos seize formules donnent Or — relations nouvelles.

Si N est multiple de 5, nons avons 12—3—3—9—/ relations nouvelles.

Nous commencerons par réunir les formules analogues aux relations (18) et (20) et donnant de nouvelles propriétés des nombres de représentations par diverses formes quaternares.

1247. Formules nouvelles relatives aux nombres de représentations

ar diverses formes quaternaires. — N = + 1 /mod 10 : q \

ae) = 200) Dit, — N—==Æ5{(modro):

, e. 8 fe 28 EB=—-N,+-A— 26; J

N==E6\mod1o):