DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

18. J’adopterai, en ce qui concerne les fonctions 6, les notations d'Hermite et de M.G. Humbert, de préférence à celles de MM. Weber, Jordan, Halphen ou Tannery. J'ai, en effet, trouvé quelque avantage à

distinguer, par des lettres différentes, les développements où entrent des exposants qui sont des carrés impairs, de ceux où entrent des exposants qui sont des carrés quelconques.

Je poserai donc

+ co + co

+ © A NE + k :

O,(z)— > JE CRI D g"" Cos2mx > qe COS2mMT, — D 1 — © O(x) = > LUE 1)" e2nix —+ —+

— "+ > q'°(— 1)" cos2mx = Congé cos2mzr,

Hz) — > q % et2m+1)ix — D ie (2 77 +1)? Les (2mm+ 1)?

= > g ‘ cos(2m+i)x =>) JR COS (271-221):

0 — © : = (2m+1)2 H = = > ” 4 1) et2rr+i)ix Ke ( (1) — © Fa (22n +1)? rase (2nm+1)?

2 De : (—1)"sin(2m +1)e = Ÿ (—1)"#g * sin(2m+i)x.

Voici d’ailleurs, empruntée en partie à un Tableau de M. Lucien

Lévy, la correspondance entre les notations de divers auteurs :

Jordan, Schwartz, Tannery Lévy. Halphen. et Molk. Weber. Humbert.

8(3) 71(2) 7(æ) Fn(v) H(x) 0,(z) Ta(x) (x) Fio(#) H;(æ) 0:(3) So(x) 7,(2) Soi(°) O(x) 0,(5) 73 (2) F3(æ) Too (v) O,(x) = 20: D TU

19. En remplaçant x par o dans 0,(x), O(x), H,(x), on obtient C 4

26 JACQUES CHAPELON.

trois fonctions de g :

CA = Gite

= S (ing,

D'ailleurs

Nous poserons

ve (6m+1)?

-N — > (— ne q 12 k — œ©

et l’on a la relation

API OC et

Net 1 avec

—- co HD (—i)*(om+i1)qg *

20. Les propriétés fondamentales de périodicité sont données par les formules

O,(xæ+r)—= O,(x), Q,(xLrr)= er" 0 (2) O(x+T)— (x), O(æ+nr)=—e gt O(x), H,(x+7r) =—H,(x), HAT) = een, (©), H(x+r)=— H(x), H(z+nr)—=—-e 2x q 1 H(zx).

L'addition d’une demi-période conduit aux formules suivantes :

ei (x + |

(2) ci

TE

H{(zx +

et 2) e(r+F+E)- eg * H(æ), ou 0) 2+5+€)- en gi CT), ENT H, (« + L e =) = lé Vo O(T), G} 0) el H(c+T+E)- e-ir q + Oi(x) 2 0 Les zéros des fonctions @ en résultent et sont donnés par le

Tableau suivant :