Les formules des transformations élémentaires d’ordre un

donnent les transformations |[+, T+1|et|r, — :| : O:(x, T +1) — (x; 7), O(x, T +1) — O,(x,7T),

iT Hi(z,T+1)—e" Hi(z,t),

puis x 1 fr e :

2 LR Ê UVuT OO (x; T), e(7, ) — ei ir Hi(x,T),

—e"iVir O(x,rT),

JACQUES CHAPELON.

99. Les formules de transformations élémentaires du second ordre

Din

donnent les transformations |+, 2T| et le

1° Transformation de Landen () :

0(q*) @(2x, g°) = 00, (94407 gent 2:0;(9:) 0,07, g) 10/4007, 2 0,(g?) Hi(2æ, g°) = Hi —H?, 2n(9°) (2x, g°) = Of — 6>, 21(9°?) Gi(2x, g°)=H?+ EH; d’où l’on tire OÙ (9°) 0,(22x, g?) + n(g?) Hi(2x, g°), O— 0,(g°) 0,2%, q°) — n(g°) Hi(2æ, g°), Hi n:(g?) 0,(2æ, g?) + 6:(g?) Hi(2x, g°), P=n(g)6:(2æ, g°) — 8(g°) Hi(22, q°).

2° Transformation de Gauss :

Ln(g) H, Ë 5) — H,9,, a(4) 8 Ce, :) a (a?) e, (a, )=ei+Ht, (y) 6, (2 = — gr —H, o(4:) e (æ, :) — 0} H}

Il en résulte

20 — G,(Va) Oz, Va) de (Va) e(z, Va), 2 @— (Va) 6,(x, Va) + 0:(Va) 8(x, Va), 2 H° == (Va) 0, (x, Va) En (Va) O(r, Va),

2 H2=— 9(V9)8,(x, Va) + 8(Va) 8x, Va).

(1) Pour simplifier les écritures, quand une des fonctions @ portera sur les arguments æ et q ou æ et 7, nous supprimerons toule indication de variable.

3° On obtient encore d’autres formules en changeant dans les formules précédentes + en T +1, ce qui donne

.K = (i Va) H(>, iVq) =e ‘H 6,

Rn(EVa) He, iVg)=e 10, (ia) 6i(x, iv) = 10; + H, (ia) (x, iVa) = H? — ie, 6(:Va) O(z, iVa)= 06? — ir, (ia) Oi(x, Va) = 6? +iH2.