Relation entre les carrés des fonctions

— SH? — 62H? — 1? 6}, — OH? — 02H? — n° @?, 6 O?— 6? 02 — n° H}, n? H?— 0? O0? — 62 072.

25. Formules d'addition des fonctions 4. — Weber donne les for- . : ’ | 1810 1 he .

mules (Ælliptische Functionen, Braunschweig, 1891, p. 56-57) :

(1) 6? Bi(u + er) Ei(u —e) = O?(u) ?(v) + H°(u) H'(v), (2) G® Q(u+e) Q(u—e)= Bu) 9(v) — H(u) H(e), (3) a? Hi(u + v) Hi(u —v) = H?(u) H?(v) — H(u) H(v), (4) 6 H(u+e) H(u—v)= H'(u) O%(v) — @(u) He),

30 JACQUES CHAPELON.

et en combinant avec les relations entre les carrés des fonctions 0 :

(5) 0? H(u+v) H(u—vr)= Hu) 85(v)—H(r)Oi(u),

(6) On O(u+ve) H(u—v)— O(u) H(u)6,(e)H(e) — G,(u) Hu) O(v)H(v), (9) On O(u+r)Hi(u—v)= O(u) Hu) O(v) He) + O,(u) Hu) 6,(v)H(v), (8) 09 O,(u+v) B(u—vr)—O(u) O(u)@,(v) O(v) —H,(u) H(u)H(v) H(v), (9) AnmHi(u—v) G(u+vr)—0,(u)H;(u)@,(r)H(r) + O(u) H(u) O(v)H(e , (io) 0 mHi(u+r) O(u—v)— O(u) Hu) O(v)H,(v) — O,(u) H(u) 0,(s) H(v), (1) GnmH(u+er)G(u—r)—0,(u)H,(u)0,(-)H(v) — O(x) H(u) O(v)H(e), (12) 08 Q(u+ve) Oi(u—vr) —O,(u) O(u) Or) 0,(6) + Hu) H(x)H,(v) H(e).

26. Développements fondamentaux. — Nous emploierons encore les formules suivantes d'Hermite (O£uvres, t. IT, p. 245) :

H?2 m EE m qu (13) Hire De gr —8ÿ 1— q2" coS2Mx, H? I & m Eu DO SE Ee 2 ee.

(14) 0 ie Re +8 1) PCA COS2M x),

et les développements fondamentaux de MM. G. Humbert (Journal de Mathématiques, 6° série, t. I[L,-:1907, p° 359, 55%"et 125)er KPetr (Académie des Sciences de Bohéme, 1900-1901) :

H° (15) AA EURE rs +40(2, q? DIEPATE

— sY (—1)M QT 2g +... +(—i)taomqg""#]cos{max

(2m+1) 2 NL __@Um—1)

+8 S ("9 É fe il) m1(97 1) g : -

et

(16) 0, Hi 0, —2H,(x, DRE Ÿ F(8v+7)

œ rs (C@m—1} (2m—5)?

—1Ÿ q 8 Pres ë L(am—5)g È Re.

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. ou

Rappelons pour terminer la relation d'Hermite

62) 8V+3 (17) n=82 g | F(B»+3), l'équation de Kronecker (18) 612 Ÿ gE(N)

et enfin les équations d’'Hermite

(19) HU TD q * F(4N+ 2), e 2N+1

(20) n6 GS (—1g * F(GN+2).