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(10) Mo A, + A, + AU, + AV, + JL.
Dans les décompositions (NC, NC), N ne peut être qu'impair, puisque un carré impair est multiple de 8 + 1. MT, est d’ailleurs connu : c’est le nombre de représentations du quadruple d’un nombre impair par une somme de quatre carrés impairs, done 16 fois la somme des diviseurs du nombre.
Ainsi, avec nos notations,
(Ur) D 10 dore T)l, de même b > N : 16 (12) = (28) = (5 NUE FE (A — 60).
60. Relativement au module 5, un carré est corgru à 0, 1 Où — 1. Or, il y a quinze combinaisons complètes des trois quantités 0, 1, —#Y, prises quatre à quatre. Ces quinze combinaisons se groupent en cinq
classes, de telle manière que la somme des nombres d’une eombinai-
5Â JACQUES CHAPELON.
son soit congrue à l’un des nombres 0, 1, 2, 3 ou 4, selon la classe considérée.
Voici ces cinq classes avec les valeurs correspondantes de N (mod 5) pour les décompositions XX et A :
”e. DL.
N=—1(mod5) N=1:(mod5)
tree |
Nu" NM 1 4 t =æf I O | I re) ro)
N=E NE I I Fi
ls = fi 0
N=—2 N=2 NT nr (
re) (e) o [e)
ü-—i 0 oO
On en déduit immédiatement que, parmi les cinq quantités N°, W, W,, %,, 0, deux au moins sont nulles.
De même, des cinq quantités MC, AC, AC, AC,, AC, deux au
moins sont nulles.
61. Supposons N impair et cherchons les relations qui unisssent les nombres AMC, aux nombres NX.
Soit donc N—zx+7 ++
une décomposition X,.
On peut lui faire correspondre deux décompositions A, savoir
(13) 4N=(y+s+i—-m)+(r+s+it—y}+(x+y+t—s) + m+y+az—ct}?,
(4) GN=(y+s—t— x) + (x +3 —YP+(T+y—i—-s)+(—-x—y—3z—t}.
En effet, N étant impair, un ou trois des nombres +, y, z, t sont
FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. b5 impairs. Done, toutes les quantités
COLE Ve ET
sont impaires.
Deux décompositions (13) provenant de DÉCOUPE TNT A8 ETES NT + cp np’ L .
(x, Y, 7’, t) différents sont différentes, car les équations
JY+si+i-2z—=y+z + 6— x", D+i+i—y=x +3 +t— y, DHyt+l—s = +yÆt— 2),
DHyY+s—t =x'+y'+z— 1 n’admettent que la solution
TL: Y=Æ=Y, S— 2), le
De même, deux décompositions (14) provenant de lettres (x,3', z, )
et (x” y’ 7’ €) différents sont différentes.
Enfin, une décomposition (13) ne peut êtreidentique, terme à terme 4 P I ? )
à une décomposition (14), car les équations
Y+s+i-x—= y+s —l — x, æm+s+lt-y—= x'+s —l— 7", æ+y+i—-s:s—= x'+y—t"— 57, Z+y+z—t =—-x — y —3—+t donnent —22x—=) +3 +l — x",
D co ty.
ot x + y + — 1.
Ces équations sont arithmétiquement impossibles, car les seconds membres sont précisément les quatre termes de la décomposition (13) provenant du groupe (x’, >", z', l‘). Or, nous avons vu que ces quatre termes sont des nombres impairs.
Les décompositions (13), (14) sont donc toutes différentes, et
comme ce sont des AT, on en déduirait
56 JACQUES CHAPELON.
si l’on ne savait, par ailleurs, en vertu des formules (5) et (11), N étant
impair, que 20 JT.
Nous pouvons donc déduire de cette égalité que le procédé qui fait obtenir deux décompositions AT, au moyen d’une décomposition X,, par les formules (13) et (14), donne toutes les décompositions A...
