IA

Soit (X”, Y’, Z’, T1”) la décomposition X° déduite ainsi de la décomposition (x, y, z, t) qui est une À.

En réunissant ces trois opérations, on doit avoir obtenu tous les N, puisque XX, et X, sont nuls. On doit d’ailleurs les avoir obtenues ainsi une fois seulement.

Comme on n’obtient les 3° que dans la troisième opération, on les

obtient toutes ainsi. Donc y — 1.

Par suite, les équations (20) et (22) donnent

GAS = Qi Je dis que

En effet, je vais prouver qu’à toute décomposition (X, Ÿ, Z,T) correspond une décomposition (X”, Y”, 7, 1”) et réciproquement. Dès lors, les décompositions 3%, obtenues par l'opération qui à conduit à

l'équation (22) et les décompositions X, obtenues par l'opération qui

62 JACQUES CHAPELON.

a conduit à l'équation (20) se correspondant chacune à chacune, il

faudra que

d’où

Je disque, si4(X, Y,,2, Tres déduit par (16 Pdhinerdécompos sition 2%, (—X, Ve Z, Tune, peut ètre déduit d'une O6 par (18). Done (—X, —Y,—7Z,"T) sera déduit d’un XX, par (18).

En effet, il suffit de montrer qu'il est impossible que

Or, les seconds membres sont justement les quatre termes de la transformation (19) appliquée à (x’, y’, 7’, #). Or, (x',y’,z/, €) étant une %,, la décomposition (19) est évidemment une I. (x, y, z, t) serait done une ,, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Donc (= Xp—Y, —7;,T) sera déduit d'une 90 pare actes DRE Ye ZE UMR

Considérons inversement une {X”, Y’, 2, T’), provenant d’une !

par (18). Je dis que la décomposition (— X’, — Y', —7/,'T") ne saurait

en provenir.

Si, en effet, on avait

YE sig = (y Ha + t'—2x), DE UE = (Ta Et — y), T+y+t—sz—=—-(x'+y'+ lt — 3), EVEREST — 2'+ y'+ 3! — ie

on en déduirait

r °n . , / , + 2 On vérifie aisément, (x”, 1”, z', €) étant une X,, que si

( V+s +l— x g'+ s'+t— y d'+y'+l— 3 RE) EE à >] y

est aussi une , il ne saurait en être de même de

Hz s—x td x + y m'+y —l—3 = pi = =)

ni par suite de (x, y, z, t), ce qui est contraire à l'hypothèse. Done (X', Y’,Z, T'het(— X’, — Y’, — 77, T’) ne peuvent provenir simultanément des décompositions X' : done (— X7, — Y’, —77,T")

ÉSEUNEUX-Y. Z, T):

Donc C0) et comme LEE, il I CD ru

il en résulte que Mi = 290!

66. Remarque. — Appliquons la transformation (18) à la décom-

64 JACQUES CHAPELON.

LES fs - Drag + ! ‘ r [4 À position % (x, y, 3, t). On obtient une décomposition K, ECM ZA Appliquons, au contraire, la transformation (19). Nous obtenons encore une décomposition %! (X’, Y”, 27, T°). Je dis que l’ensemble des X' (X,Y,2, T) est différent de l’ensemble

des X'(X’, Y’, Z’/, T”). Il suffit pour cela de montrer que les équations

sont incompatibles.

On a vu qu'on en déduit

—23—=2'+y'+l 2, 24— x + y'+s — 1; d'ou ! sit ! nl ns M ARR SU ’ 5 LC}

Or les seconds membres sont des X puisque (x, y", z', #’) est une . On en déduirait alors que (— x, —7, — z, t) est une I, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Ainsi, l’ensemble des transformations (18), (19), appliquées à la totalité des X,, donne la totalité des NW et ne donne qu'une seule fois

chaque décomposition N'.