NE GREEN PE RER

donc Ma(4N) = MN).

Enfin, les équations (1), (2), (3) et (4) donnent MAN) = Ma (AN).

2° Cas de N impair :

Supposons N = 1 (mod 10).

Prenons l'équation

Cu Nero. I (N), puis (2 AN Ep hs ot, 2 (4N).

Remarquons que les AC (N) sont des I (AN) particulières. Pour approfondir la question, revenons aux raisonnements des n° 64 et 62.

Considérons donc les trois équations

Gp À D (az + (26, (29) 4N=(y+z+t-m)+(c+a+it—-y}+(c+y+it-s) + x+y+z—c}, (28) AN=(y+3—t—x)+(r+s—i—y}+(m+y—t—3) +(—x—y—3—t},

Nous avons montré que les décompositions (27) et (28) sont toutes les décompositions AT.

Il est d’ailleurs évident que les décompositions (26) représentent toutes les décompositions (25) où +”, y’, z' et #” sont pairs.

Supposons que dans (24) un carré et un seul soit multiple de 5. Alors (26) est une X' (4 N), ainsi d’ailleurs que (27) et (28), comme cela résulte du n° 62.

Donc

(29) 3 (N)—ar, (AN), car on n’a peut-être pas obtenu ainsi tous les X° (4 N); Cie

Prenons les décompositions (24) où trois carrés et trois seulement sont multiples de 5.

On en déduit, (26) étant alors une NX (4N) et (27), (28) étant des (AN);

(30) M,(N)—=6X;(AN), (31) 20, (N)= 7 20, (AN) avec

BE Er:

Enfin, supposons que dans (25) aucun des carrés ne soit nul (mod 5). Il en résulte

avec

68 JACQUES CHAPELON.

Ces trois opérations donnent d’ailleurs tous les M'(4N) et les

donnent sans répétition.

Comme on n’a obtenu des x’ (4 N) que dans la première opération,

on les a tous obtenus ainsi.

Donc (om |

et M! (4N) — 390 (N).

D'ou, en prenant aux >, 3[3 IN) — I(N)]— 390 (4N)— I (4N).

La méthode s'applique aux autres cas. Nous ne donnerons que les

résultats.