II. za =0o (mod5) = 5m, où m 0 (mod

(1) SH (an —k)= dm) +a0(E)+aw(2),

a) S(3) Er —)=0(n).

(*) Le second membre de la relation I (1) s'écrit encore, en vertu de la relation D(r)+ F(r)= (2) EF (0); — D(r)+2W,(n),

et non

comme l’indiquent MM. Klein et Fricke (Zoc. cit., p. 232). (?) Pour la relation IT(1) et pour les deux relations ITT, MM. Klein et Fricke indiquent des seconds membres deux fois trop forts.

» Les sommations de gauche s'étendent aux nombres #,, Æ.. fo

et #, et les signes inférieurs se correspondent, ainsi que les signes

7 k supérieurs. (3) est le symbole de Legendre. »

M. Gierster énonçait également (‘) des formules se rapportant

au 3°, au 7°, au 11° et au 13° ordre, mais c’est M. Hürwitz qui

démontra celles du 7°, du 11°et du 13° ordre, et qui donna la théorie générale complète pour un ordre quelconque premier.

Stieltjes (*), en 1883, revenant aux méthodes d'Hermite, établit diverses formules de Liouville et donna d’autres expressions d’un type encore différent, par exemple