SN—(2Y +1) +2(5T} + 5(2Z +1) + 10 X

une décomposition ©,(2N). On l’a obtenue.

Il suffit de montrer qu’en posant Y+ t+ôx—=Ee(2Y+i) —2t—53 — 107 : , (e—+i,n= +1), É— 3 — x —=n(22 +1) Y+3—2x—2X

on peut déterminer € et n de manière que #, y, z, t aient des valeurs

entières et que { ne soit pas divisible par 5.

On trouve :

(39) 8x —E€e(2Y +1) —n(22+1)—2X, (40) 43 =—5T—-n(22+1)+X, (41) 4y=5SX+5T+E(2Y +1), (42) 8t —=—10T+5n(22+1)+e(2Y +1).

D'ailleurs, X, Y, Z, T sont assujettis à certaines conditions données

par la résolution de la congruence

24 =(2Y +1) +2(5T} + 5(2Z +1) +10 X? (mod 80)

qui n’a que les solutions

il en résulte que t n’est pas divisible par 5.

70 JACQUES CHAPELON.

Posons NEED

Dh st =,

On aura pour Y’, 7, X, T les valeurs suivantes (mod 8) :

Ye 2e ne 1 3 ou à Ou 7 1,9, 9 OU o où 4 3 ou 1 OU 7 2 ou 6 1/03 10 01 3 ou à 3 ou à 19,0 Out 2 ou 6 3 OÙ 5 3 où à 0 où 4 1,5: D OUT 1 OU 7 1 OU 7 1,9, 0007 2 ou 6 LOU 7 1 OU 7 o ou 1,3,D ou 7 1ou7 3 Où à F9 D OUT o ou 1 Ou 7 3 ou 4 > ou 6 1 DIOU7

Mais, écrites en congruences, les équations (39) et (42) donnent les

conditions (43) eY'— n/'—2X =0o (mod 8), (44) —10T+5n2 +EeY'=o (mod 8).

Supposons ces conditions remplies. On en déduit, en retranchant,

—10T+6n/ +2X=0o (mod 8) ou — 5T+3n2'+ X=o (mod 4),

(45) — 5T— n2/+ X=o (mod 4);

done, si les conditions (43) et (44) sont satisfaites, on pourra déduire z de l’équation (40).

On constate d'une manière analogue qu'en éliminant Z’ entre (43)

et (44), on trouve la congruence (46) 2X+5T+EeY'—=0 (mod 4).

qui montre qu’on pourra déduire y de (41).

Les congruences (45) et (46) s'écrivent encore

(47) EY'+X+T=o (mod 4) et (48) nL+T—-X=o (mod 4).

Elles permettent de calculer & et n d’une manière unique, parce que X et T ne sont jamais de mème parité et que Y’et Z’ sont impairs.

Mais l’ensemble des congruences (47) et (48) n’est pas équivalent à l’ensemble des congruences (43), (44).

On peut seulement dire que l’ensemble des congruences (43) et (44) est équivalent à l’ensemble des congruences (43) et (48), par exemple. Il faudra donc encore, pour chaque couple ë, r, vérifier que la congruence (45) est satisfaite. C’est bien ce qui arrive.

Il en résulte que la totalité des €,(2N) a été obtenue et, par suite,

que