LT— NY

Donc TE — est impair.

Ainsi, à toute décomposition F(N) on peut faire correspondre une décomposition ©,(2N) et une seule.

D'ailleurs, on vérifie que deux décompositions ©, (2 N), représentées par deux des formes (50), (51), (52), (55), ne peuvent coïncider que C. 11

82 JACQUES CHAPELON.

siles décompositions (49), qui leur ont donné naissance, sont identiques.

Si nous montrons que, réciproquement, toute décomposition ©, (2N) est représentable, d’une manière unique, par une des quatre formes (50), (51), (52), (53), où (x, 7,2, t) sont udessolutions de (4g)etoù x, y sont impairs, æ non divisible par 5, il en résultera qu’à toute décomposition F(N) correspond une décomposition €, (2N) et une seule et réciproquement, et par suite que

Soit donc 8N — X?+ 50T?+ 5 Y?+ 107?

une décomposition ©,(2N) en supposant X et YŸ impairs. La congruence 16= X?+ 5Y?+102?-+ 50T? (mod 80)

n'admet que les solutions suivantes :

OR NO NO 0 0-00 = 1449 + 10 + 4o = 14+45+ 0o+50 M (mod 80); =4i+ 5+ 10 +40 = Ne oi HO UDe 0

d’où, pour X, Y, Z, T, les valeurs suivantes (mod 8) :

X de Z. #E Nr 1, 9 TOI AUT 0, 4 1 1507 2510 13 87 fn 2, 0 19: 0,07 20 Le 350 0, À 1,3,0,7 2110 pm A On 2,0 3,19 17 0, 4 1 007 3,5 A0 LR ET o, 4 Sn SH 2, 6 1,3,3,7

Je dis qu’on peut trouver x,y,z,t,e," Ne = Lil que

Je QUE ER Ve de Ju, MN re) sr HN, a: 2 On en déduit, en effet, (54) RL NY 7.

(55) key MX = 5sY—327, (56) Ent ZE ST NX, (57) D OL EN EETIX

Réduites à des congruences, ces équations deviennent :

(58) T+3eY + Z=0 (mod 4), (59) nX+g7eY + 6Z=4 (mod 8), (60) 31+ T+3nX=0 (mod 4), (61) 2T+5eY + nX=4 (mod 8).

Ajoutons (58)et(61),1l vient (62) 3T+nX+Z/=0o (mod 4).

Nous déterminerons € par la congruence (58) EY =T+7Z (mod 4) et n par la congruence (62) nX =T—Z (mod 4).

e et n étant ainsi choisis, ce qui ne se peut évidemment que d’une seule manière, car T et Z sont de parité différente et X et Y sont

impairs, «, Y,2,t en résultent également d’une seule manière.

S/ JACQUES CHAPELON.

Il faudra encore vérifier que, pour les valeurs de &, ainsi trouvées, la congruence (61) est satisfaite. C’est ce qui a lieu.

D'ailleurs, X n'étant pas multiple de 5, l'équation (57) montre que « ne peut l'être. |

Donc la décomposition

donnera unsystème unique de valeurs de x, y, z, t satisfaisant à l’équation (49) avec æ, y impairs, + non multiple de 5.

En définitive

Les autres cas [N = 6, 4, 8(mod 10)] se traitent d’une manière ana-

logue. On trouve 78. N—=—+2(modio):

N=Æ+/4(modro):

79. Relation entre S,(N) et S,(2N), AC(N) et XM(aN). — Gas de N impair :

33 (2N) est GN=102x + y?+5:°+ 28, oùuy ou test multiple de 5.

On en déduit la congruence

k= 22 + y?+53+ or NO CERN ONE Oo (mod 8); = 0 +o+ 4 +o