SA) EIN SE
Hermite (*}, en 1884 et 1887, compléta ses Mémoires de 1861-1862 et précisa sa méthode de démonstration des formules de Kronecker.
Il indiqua divers développements intéressants, notamment ceux
I I I : +. “ a —— =-———— ; ces derniers sont d’ailleurs dus à
de Ste) to) © Sa)s(æ)
M. Appell.
En 1885, M. Hürwitz (°), partant des formules de Kronecker, en
(‘) Mathematische Annalen, t. XVII, p. 82 (pour le 7° ordre); t. XXI, 1883, p. 49; t. XXII, 1883, p. 198, 203, 206.
(2) Leipsiger Berichten, 15 décembre 1884; Mathematische Annalen, t. XXV, 1885, p. 157, ou encore KLei et Fricke, Ouvrage cité, 4° et 6° Parties.
(5) Sur un théorème de Liouville (C. R. Acad. Sc.), t. 97, p. 1358 et 1415. — Voir aussi Correspondance, p. 58 et G2.
(*) Bulletin de l’Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg, t. XXIX, 1884; reproduit dans les Acta mathematica, t. V, ou Œuvres, t.IV (en préparation). — femarques arithmétiques sur quelques formules de la théorie des fonctions elliptiques (Journal de Crelle, t. 100).
Il faut encore citer : BrenLer, Sur les développements en série des fonctions doublement périodiques de troisième espèce, 1879, Paris, Mémoire qui contient des formules intéressantes. — Appez, Sur les fonctions doublement périodiques ‘de troisième espèce (Annales de l'École Normale supérieure, 3° série, t. 1, 1884); et du nee Een : Développements en série des fonctions doublement périodiques de troisième espèce (même Recueil, 3 série, t. II, 1885).
(5) Ueber die Ansahl der Classen quadratischer Formen von negativer Determinante (Journal de Crelle, t. 99).
10 JACQUES CHAPELON.
tire, par des transformations de fonctions 0, les expressions de diverses sommes du type de Kronecker et relatives aux ordres 4 et 8.
En 1900 et 1901, M. Karel Petr publie trois Mémoires (') où il indique encore de nouveaux développements en série et notamment les développements fondamentaux retrouvés en 1907 par M. Georges Humbert. Il en déduit diverses formules rentrant dans les types de Süeltjes ou de Liouville, et d’autres d’un genre plus nouveau.
Enfin, en 1907, M. Georges Humbert (?) démontre de très nombreuses formules des types de Kronecker, Liouville et Stieltjes. Il retrouve et complète les formules de M. Gierster relatives aux sommes d'ordre trois et donne, sur le mème sujet, des formules plus profondes que celles de M. Gierster. Il montre enfin la merveilleuse fécondité des méthodes d’Hermite, en établissant des développements d’un genre tout à fait nouveau, où s’introduisent diverses fonctions arithmétiques liées aux minima et aux carrés des minima des classes de même déter-
minant. Îl peut ainsi calculer des sommes doubles de la forme
. | DCI FIN — 2 — y) FN et d’autres s5ômmes plus compliquées encore.
5. On voit, d’après ce rapide exposé, que deux méthodes bien distinctes permettent d'établir et d'étendre les formules de Kronecker. L'une, surtout utilisée par les mathématiciens allemands, conduit à des relations très générales quant à l’ordre, mais peu nombreuses. L'autre, celle d’Hermite et des mathématiciens français, semble apte à donner un grand nombre de relations pour un même ordre, mais cette fécondité même paraît devoir entraver son application à un ordre tant soit
peu élevé.
———— (') Académie des Sciences de Bohéme, 1900-1901. (?) Formules relatives aux nombres de classes des formes quadratiques binaires et positives (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 6° série, t. I, 1907).
FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. [el
À. Je me suis proposé, dans ce travail, de retrouver et de compléter les formules du cinquième ordre données par M. Gierster et rappelées plus haut, en appliquant exelusivement les méthodes d’'Hermite et les procédés déjà employés par M. G. Humbert pour le troisième ordre.
Voici le plan de ce Mémoire :
Dans un premier Chapitre, j’établis diverses relations entre certaines fonctions des diviseurs d’un nombre. Les fonctions de diviseurs qui se présentent dans nos recherches et dans celles des mathématiciens allemands sont, en effet, très variées. Il était indispensable, pour pouvoir simplifier et comparer les formules, de ramener toutes ces fonctions à un certain nombre de types.
Dans un second Chapitre, je rappelle des théorèmes élémentaires sur les fonctions O, diverses formules d'Hermite, et enfin les formules fondamentales de MM. Karel Petr et Georges Humbert.
Dans un troisième Chapitre, je démontre certaines relations liées à la transformation du cinquième ordre des fonctions 0.
Dans un quatrième Chapitre, j'applique ces relations à la recherche de divers nombres de représentations d’un nombre entier par certaines formes quaternaires. Je n’insiste cependant pas sur ce sujet, me bornant à chercher les relations qui doivent être utiles dans la suite. Un résumé, placé à la fin du Chapitre, donne d’ailleurs les principaux résultats obtenus.
Le cinquième Chapitre contient la recherche des sommes
2F(N— 0?) et 2E(N— 5?)
relatives au cinquième ordre. Il me suffit, pour cela, d'appliquer une méthode très analogue à celle que M. Humbert a donnée pour le troisième ordre.
Enfin, je termine par un sixième Chapitre où, grâce aux relations établies dans le quatrième, je simplifie les expressions trouvées pour les sommes cherchées, ce qui me permet de retrouver les formules de
M. Gierster, puis d'obtenir des formules définitives dont les seconds
12 JACQUES CHAPELON.
membres ne dépendent que de fonctions des diviseurs de N et des nombres de représentations de N par quatre carrés dont au moins un, ou deux, ou trois, sont multiples de 5. Ces expressions se trouvent
d’ailleurs rassemblées aux numéros 148 et 149.
Il me reste à adresser mes remerciements à M. G. Humbert pour les précieux conseils qu'il m'a inlassablement prodigués au cours de ces recherches : le meilleur de ce travail lui appartient sans conteste. Je suis heureux de pouvoir lui témoigner ici toute mon affectueuse
reconnaissance.
