N=ÆE1(modi1o

S82(2N) =S,(N), X(2N)=X(N); N=Æ+3(mod 10) :

81. Relation entre S,(N) et S,(2N), X(N) et X(2N). — Cas de N pair :

Si N est pair, on a HAN) UN) + FUN):

X(2N)c'est

INrorES y EEE 0,

où ni y,nmtn’est divisible par 5.

86 JACQUES CHAPELON.

Résolvons la congruence

o=102 + y?+ 52 + 20? (mod 8)

OU o= y'+bz+oz +2 (mod 8),

on trouve OO RO0E0

LL JD 0 oO.

=iI+b+o+o2, —U iEho eo, =h+o+2+ 2.

Les troisième et quatrième lignes correspondent à y, 3 impairs à la fois, c’est-à-dire à des F(N), les deux premières et les deux dernières à y, z pairs à la fois, c’est-à-dire à des décompositions

AN=1ox + (2y'}+ 5(25')} +oe

ou 2N—= DH, 2) CE os Peer

c’est-à-dire à des X(N), puisque ni 7 — 27", ni t—2t n’est divisible par ».

Inversement, il est évident que, du tableau des F(N) et des X(N), on pourra déduire le tableau des X(2 N).

Donc (65) H(2N)—F(N)+ HN).

On a trouvé C(N)=3T— CE, — WU, SAN) 260 (out 3) (1 puisque N est pair; =

S(2N)—2€(2N C+C—2(2r2 3)U; donc

En retranchant membre à membre les équations (65) et (66), on trouve

(65) Sa(2N) = S8(N) + SAN).