HN) + AN) = 284 (2N) +SB(N

Je dis que cette relation subsiste, quel que soit N, pair.

Il suffira, pour l’établir, de montrer qu’en la supposant exacte pour une certaine valeur de N pair, elle l’est encore quand on remplace N par 2N.

Or, on a (n° 82), si N'est pair,

HAN) FINE SUN), Sa(2N) = Sg(N) + SUN);

donc, en supposant (68) exacte, on en déduit

(69) FN) + 2 HN) = 4 SpN) + 2Sa(N).

D'ailleurs

(70) SB(4AN) = Sa(2N) + Sg(2N)

(71) SCAN) — Sg(N) + EN) + Sg(2N);

puis (n° 78) FIN) = — SAN) = Sg(2N),

donc (69) devient

HS S8+ 2Ca+ 3 Cg(2N) ou 4e +2 S —3{S8 + CPE CB(2N)]+38s+3e, = 3 S8(4N) +3388+3C,; donc E SB(AN) + SB(N) + Cu(N) = (28 — 1) U

car N n’est pas divisible par 5.

Mais, d’après (71),

SBCAN) — 88 (N) + Su(N) + Sg(2N)

d’où

SCAN) — SB(N) = Sa(N) + Sp(2N) = SUN) + F(N) = SUN) = HU.

D’alleurs DUNES CLS) U, SON) aa) US donc S(AN)—S(N)= 3.28 U — 32(N) —388(4N) — 3 Sg(N), puis SCAN) — SCAN) — SUN) + SON) — 2 SB(4N) — 2 Sg(N), ou HAN) — HN) = 2 S8(4N) — 2 S8(N).

Mais, par hypothèse, (68) donne

X(2N)+ HN) —2[8(2N) +S8(N)], donc

X(AN) + K(2N) = 2{[S8(4N) + Sa(2N)];

c’est précisément la relation (68) où l’on a remplacé N par 2N.

Il en résulte que cette relation est générale, et aussi la relation (72)

qu'on en a déduite.

Cette formule (72) s'applique même encore au cas où N est impair

(non multiple de 5) puisque alors C;(N) — 0.

86 N=+2{(mod5):