N — 5YN'— 245 N

(re

90. Nous avons obtenu les formules (78) par des considérations

el que

purement analytiques.

On peut, en supposant connue la formule (74), en déduire les formules (78) par des considérations ar ithmétiques qui ne sont pas sans

intérêt et que nous allons exposer succinctement.

1° D'abord, si N = Æ 2 (mod 5), 4 N n’est pas résidu quadratique

de 5 et la décomposition M, est impossible.

Donc

2° Supposons maintenant N = Æ1 (mod 0

La décomposition A, est alors possible.

Soit AN= a+ iy +52 + 5e.

On peut lui faire correspondre la décomposition (79) AN= a+ (27 +2) +(y—-223) +56,

qui est une f,.

Toutes ces décompositions (79) sont distinctes si l’on part de

groupes (x, y, z, t) distincts.

Inversement, soit une décomposition