EN—X+Y+2+5T (A

on peut lui adjoindre cinq autres décompositions S,, savoir :

HN NP 7 Eve, ANNE 7 EXO TE, (80 bis) AN—V Xe "7 510, AN—= ZE X1+ Y?+ 57, INT EN CE XP 0).

On suppose X°, Y*, Z* différents.

Pour que la décomposition (80) coïncide avec la décomposition (79),

il suffit que

LENS (81) Sy a), (82) y —22—=2, TT:

On en déduit { 5y—=2Y +2, (88) lé =iy 27, donc (84) 2Y+/#&o (mod 5).

On déduit d’ailleurs de la congruence (8/)

4Y+2/=0 (mod 5)

96 JACQUES CHAPELON.

ou

Y—2/=0 (mod 5), qui prouve que la condition (84) est suffisante pour que le système (85) soit résoluble. |

Si N = 4 (mod 10), l'équation (80) implique la congruence

X2+ Y2+22+5T= 16 (modo), d’où X2+ Y+ =: (mod 5),

qui n’admet que les solutions

OCHOBEAT

DÉCORER O0 ’ (mod 5);

E+Hi+Hi

d'où, pour X, Y, Z (mod 5), les valeurs

(e) ORETA, ONE 0, mil O 0, A ne) QE ANNEE Der il SO EEE

On vérifie alors, pour chacune de ces solutions, que parmi les nombres 2Y +2, DJ à 27% EX, 2X 7, DD GAUEN 2Y + X,

qui représentent la combinaison 2 Y + Z pour l'équation (80) et les

cinq équations (80 bis), il y en a toujours deux congrus à zéro (mod 5) et quatre qui ne le sont pas.

On peut donc associer les décompositions A, par groupes de six, tels que deux d’entre elles soient représentables par la forme (79) et tels que les quatre autres ne le soient pas.

Si l’on supposait X? — Ÿ?, on associerait à