SA

NI 7721 (0 D ÉPO ENT)

— 4X(— 1)" mm",

» il faudra encore prendre

8È(— 1)" m1", N=m"(5p+5+oa) — 4 È(—:1)""m".

ES ss iNestim Net air où | = | représente o si N est imp AO pair.

Posons

N=m (bp Et) =m;(5p—Ea).

=) =4(—-1)TIN +82(—1)"m—4E(—1)""m",

102 JACQUES CHAPELON.

On a évidemment

Z(—ai)rimi =(—1NN+E(—i)""m/, puisque en écrivant

N=m'(5p+5+i1), on supprime la décomposition

N—=Nr, qui existe quand on pose

Nm too Et) Alors l’équation (85) s'écrit

(87) (si D) = — 42 min,

où » est un diviseur de N dont le conjugué est divisible par à etou m

est un diviseur de N dont le conjugué est résidu quadratique de 5. Dans l’équation (86) envisageons deux cas :

Si N est impair, on peut écrire

2(—1)#"m"—2(—:1)"m", puisque poser N=m"(5p+5+o) revient à éliminer la décomposition impossible Nm;

Si N'est pair, soit2N',ona

c'est précisément le terme qui manque dans 42(— 1)" mm" pour faire 42(— 1)" m".

Ainsi, l'équation (86) peut s’écrire dans tous les cas

(88) ( it S ne

>) = 8 2x) m1, 2(—1)"" mm,

/ AE . ” . ee \ où » est un diviseur de N dont le conjugué est multiple de 5 et où me.

est un diviseur de N dont le conjugué n’est pas résidu quadratique de 5. 1° Supposons N = + 2 {mod 5), il en résulte

donc

fs + —) ——2A,—25,,

(— (3-4) =—24,+29,; d’où

et (89) Us —=—(—1)"458,;

d’où, en comparant avec (84),

et U,——(—1) 458, [N=+ 2(mod5)].

2° Supposons N = + 1 (mod 5), alors

Z(— 1)" m1 = = Ed (— De |: ue (5) d!

Dm — 2sd (|: — ( d'où $ et (90) U—U,—=(—:1)".45,

et, par suite, .., 10 1

[N=+1 (mod5)].