UE

3° Supposons enfin N = 0 (mod 5).

Posons N — 5'N/ et soit à un diviseur quelconque de N’ :

| N FLE Z(— 1)" m=a(z) —)(—1) SP nes EE

de même

Be. 5Y 1° 5Y N'" 5 se (— 2) Has A Hu TN (T) [= |»,

2(—1)"mI= 235 |: — (5) (5)] (—1)” 5v 5Y N'" 5 de (— 2} Ne ARE NON al) 9 1 fa ae ; ; (2 SA a 1 ( )| 3 le d’où

— (— 1928 — 162(—1)%"m — 4Z(— 1)imi — 4X(— ri) mi = — 4(2r1— 3)U;

c’est le résultat du n° 75.

Ensuite C1 QU) = 42) mt — 42) mt = — DV (— (=) BE CES eu, ou on mms (Se)

Cette formule (91) est générale et comprend comme cas particuliers les formules (89) et (90).

On en déduit, en la combinant avec (84),

SUN v+1 4 7 : anis (N)s, my] 1 +5 CIE

Rappelons que

non, (M)

94. Nous avons obtenu les formules (92) par des considérations

purement analytiques.

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DEÉTERMINANT NÉGATIF. 109

On peut, en supposant connue la formule (84), en déduire les formules (92) par des considérations arithmétiques entièrement analogues à celles du n° 90.

1° On voit immédiatement que, si N = +2 (mod 5), la décompo-

sition Ü, est impossible et la formule (84) donne

nn; DRON= mod) à

N—= 22 5° +5z+5e faisons correspondre

(93) N= roy lc} (yoz) Lo.

Les décompositions (93) sont toutes distinctes et ce sontdes 1...

Réciproquement, soit

une décomposition N,.

On peut lui adjoindre cinq décompositions analogues, et l’on trouve aisément que, pour que cette décomposition puisse être donnée par (93), il faut que

Y+2Z=o (mod 5), et, en suivant presque mot pour mot le raisonnement du n° 90, on trouve qu'aux décompositions M, ne correspondent par (93) qu'un

tiers des décompositions H,, de sorte que (94) U, — 3, ;

d’où, par la formule (84), W—=6(—1)\5,,

On encore, en réunissant les deux cas,

nf (}s cf (fn

106 JACQUES CHAPELON.

3° SiN = 0 (mod 5), on posera

NE=SNNE=SN,

et, Si N=z2?+5y?+52#+ 56,

on en déduira Ni=5x?+y+z+ ét;

, \ d'ou

Puis, en posant

d'où

donc enfin

ce sont les équations (92).

95. Caleul de M, (N), cas de N pair. — Partons de l’équation (VIT) (Chap. IT) 0202+ 5020 —40,00,0 + 020°+ 6202.

Les coefficients de g”*" sont visiblement nuls. Égalons les coefficients de g”.

Il faut poser N=a2 +7 +5s+58, (N),

2N—X? + y? +5z+ 5er, M(2N), Ne Gt RCE

De ax"? + y"? + 3/72 he Lies Ste G)

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. 107 et l’on a Te D'or > (r)err 2 2(— ne — Z(— 192" +7"+7a DEC "rare ou

(99) CON 2 D io 50 1) De NUE

Supposons d’abord N pair, alors si +’ et }’ étaient de parité contraire, z' et ’ seraient aussi de parité contraire et 2N serait 4v + », ce qui n’est pas, puisque N est pair. Donc, x’ et >” sont de même parité.

Mais alors

GATE E (2e Da EEE rie Je x! — y! 2 AE L'\? ol 2 NE Se (er), fer), s (tt), (#0) 2 2 ; tn 2 |

de sorte que 21) = M, (N).

Ainsi > PT EN GUN) = TT, + so%( +):

Mais D, = 6(3%1— r1}U,

Si N est impair, l'équation (95) se réduit à une identité sans Intérêt.

96. Remarque. — J. Liouville a donné, sans démonstration, l’expression de M,(N) (N pair) dans le Journal de Mathématiques, DSCrIE Lx).

Eisenstein a donné l’expression de H,(N) dans le cas où N est impair, non divisible par 5 (Journal de Crelle, t. 35, p. 134), Liouville, dans le Journal de Mathématiques (2° série, t. IX) a donné des formules générales. Dans le même Volume, il donne aussi des formules

pour le calcul de N,(N), mais toujours sans démonstration.

105 JACQUES CHAPELON.