I. — Expressions des sommes > F(SM + 4 — x

101. Partons de la relation d'Hermite [Chapitre If, formule (17)]

(1) ni(Va)=8 y * F(81+3).

Multiplions les deux membres par

1 1/4 JACQUES CHAPELON.

On trouve, en supposant N impair, (2) SS FLAN — (22 +1) ]=M,— 162.

Multiplions maintenant les deux membres de (1) par

GNORN, puis par DIRE puis par \\ 8 PAT

On obtient alors les résultats désirés si l’on tient compte des relations du Chapitre IV.

Supposons par exemple N = 1 (mod 10), et égalons les coefficients N

de 4° aux deux membres : il faut poser, dans le premier membre

NT Er)? (27 +1}? CR rome

et prendre le nombre de ces représentations, ou encore des représentations

te) AN= (2x +1) + (2y +1) + (23 +1) + (1om E r1)?.

Or, le Tableau du n° 60 montre que les décompositions (3) ne peuvent être que des décompositions AU et AC. Il y aura d’ailleurs toutes les décompositions MT, et, parmi les décompositions MU, uniquement celles pour lesquelles le quatrième carré est congru à 1 (mod 10),

nn. 7. 1 : en.

c’est-à-dire évidemment 7 des décompositions AC. N

Le coefficient g° au premier membre est donc NS (à "0 + ma 1° Au second membre il faut poser

N__S8v+3 (1om—+i)?