HO

10 — 0 TO Leo

Il en résulte que l’ensemble des représentations (15) et (16) cons:

titue ce que nous avons appelé ©,(10M + 4).

» . I PS Le coefficient correspondant est — 3 ©,(10M +4). Passons au troisième des termes (13).

Il faudra, poser

MRC @ ya) | (23+1)? ; CSL Nr 5 {Lo 8 8 8 5

(19) 4oM +16—5(2x +1) +25(2y +1)? +25(23 +1)? + (rot Hi)*.

Les décompositions (17) sont évidemment ce que nous avons appelé

Ve (10M + 4),

et le coefficient correspondant est

13/4 | JACQUES CHAPELON.

Il faudra poser, pour le quatrième terme (14)

M 22 +1) 2Y +1} 23 +1) (24+1)? DL El t nus if 7 < = = 5) 10 40 [re] 8 à

ou hkoM +16—=5(2x +1) + 5(27 +1) + 5(23 +1) + Got Er}.

Donc, le terme correspondant est

hGoM+ 4).

On a donc en tout, au premier membre, en posant 10M+/4—=N,

I J Ll RCE res de SPP 16 nn 100 Passons au second membre.

On a d’abord le terme 2m+I1 2m+i = < 8v+7 2100 , 3 de a 5 8V+T = T = 8 8 q n 8 HR V7) Ya * FBv+7)=2 9 - DF(Bv+5)g 0 — "0 On posera donc M (2m+i) 2m+i1 SY +7 TZ — Se = + 5 d 8 5 è ou hoM + 16 — Hi) RASE +1 or De, et le terme correspondant sera DE 4N—(r1om +1Ÿ , 25 Ensuite (2m +1)? m2) (2m—5)?

Len (am ve (2m—5»

—4Y q Pen | em 5) \ ee J

5 5 __(2m—ti =—4ŸS 3 q Seig PE: 8 ee

On posera donc

M (2m+i}) me 2m—(4p +1) amer vo 8 8 or ou 4oM +16 — (10m + 5 Æ 4)°—[1om—5(4pu +1) (18) 10M +4 —(1om—1ouE 2) (10op + 5 a) — d? d'

et d’ailleurs did?

car 10M—IOULE2>1ou+ 0 E2 revient à 2m>4u+i.

Remarquons que la congsruence k= xy (mod 10)

n’admet que les solutions

h = 1.4, d'où ZD+Y—= (modro), — 9.0; » LE 1 (mod ro), = 7.2, » T+Y=—1 (mod 10), = 9.6, » T+Y= (mod 10).

Et, comme dans (18), d’ et d' ne représentent pas des diviseurs

quelconques (mod 10), mais seulement des diviseurs = Æ 2 (mod 10),

on voit qu'on pourra lever cette dernière restriction en prenant pour

d’ et d' des diviseurs quelconques, mais en remplaçant d° et d' par

d? + di (SE : }

di d? + di b

—22f[em—(4u+1)]

Dès lors, la somme

devient | [d? + di = E(d?— d') (SES).

Otl D

Nous sommes ainsi en possession de tous les éléments du calcul. En

passant à nos notations, on obtient aisément, N étant congru à 4,

(mod 10)

HN UC 1 I HS TE D 2e Un D 5 J=57#2a0 8 mm eg 6 (202000) — — 9 jui =S(s y 3+(—2) Y 10 10

115. Si dans la première équation du n° 112 on remplaçait x par on serait conduit à des calculs identiques, à quelques true de signes près.

Nous nous bornerons à donner le résultat

4N — ter I 13 Fe 1 I J Ds l=32+ A — So sort ion (rt) ss (21) lien 10 10 I D IN) 1 =û + MT)

avec N=6 (mod 10).

Remarquons pour terminer que, dans ces deux dernières formules,

les crochets des premiers membres étant congrus à 7 (mod 8), les —— (10m —.

seconds membres représentent également les ZK, —

114. Digression arithmétique. — Soit A(A) le nombre des classes des formes proprement primitives de discriminant A. Cherchons le nombre des classes de formes propres de discriminant A. Soit A—a°\, a étant un nombre impair.

À la forme proprement primitive (w, 6, y) de discriminant 1’, correspond la forme (ax, af, ay) de discriminant A et réciproquement.

Il en résulte que

FORMES QUADRATIQUES BINAIRES DE DÉTERMINANT NÉGATIF. er

a? étant un carré contenu dans A.

Or, on a la formule (")

a) na) = RAS TT (ES )E

en posant

On suppose que A ne contient pas au carré un des facteurs premiers de À et que r est un facteur premier impair de S.

Ceci posé, proposons-nous de trouver une relation entre F (25 À), F(A)etF(£).

Soit 2°" la plus haute puissance de 5? dans À, de sorte que A = À, = 524,

À, pouvant être divisible par 5, mais pas par 25.

On a évidemment

F(S#A,)= A (A) | 1— (2) g|LSe+ 5e +... 51 #(a)

A, A, : A, +Ÿ 1) = (3) :| [54+...+5] +Ÿ n(à) Er A à A, = 5i . o) |: | [ rca) +YŸ a(2) | + h(A.) + (a)

donc enfin

(20) pores) (5) | Fa + Fan

Supposons RE

() P.-G. Leseuxe-Diricucer, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4° édition, Braunschweig, 1894, $ 100.

(Re 18

138 JACQUES CHAPELON.

Alors. de mème

(ar FES EEE |: -($)2]ra0 +rca J | 9 2.

et NE \ 13) F5 A, )— ?— |: (S)s]rean+rça:

d'ou, en éliminant z et F(A,) entre les équations (19), (20) et (21), F(OWA;) = 6GR(EEXA N)— HS F(SUSEA,).

Puis, en changeant de notations

(23) F(a5A)=6 F(A)— sr(S);

formule qui n’est valable que si À = 0 (mod 25). Si cette condition n'est pas remplie, il faudra prendre la for-

mule (20) qui donne alors aisément

(24) F(25A)— Lo—(S)]rca).

On peut d’ailleurs réunir les équations (23) et (24) en une seule en

e-(#)lr-sr(2)

écrivant

115. La formule (25) permet de vérifier les équations des n° 106, 107 et 10$ et de démontrer celles des n° 412 et 145. La formule (25) donne en effet l'identité

p PINS 27 F FRSQN— = 6 (ÉTT) TrGN 7) 5 F(EE),

oùr= +1 ou +3, ou à(mod1o).

Supposons N = + 2{(mod 10).

Sir=+i1(mod ro),

sir =+3(modio), EN us D E

sir =5(mod1o),

On a donc

72FI4AN —(1oh +1} ]+5ZF[4AN — (10h +3

PA +72F[4N—(ioh+5}] = ZF[4(25N)— (104 +5].

Les trois termes du premier membre sont connus {n° 106) et le second membre est donné par la dernière équation du n° 410. On remarquera que, dans le cas de N = 2{(mod1o),

HEEUNr

AlSENIE== ne ii SU AN)

et de même A,(25N)= 31 A (N).

Puis (n° 15) P (25N) — % (25N)—59 (N), P(25N)— UM (25N)—5P,(N).

Le cas de N = — » se traite de même.

v° = AIN r2 x Si nous supposons N = + {(mod 10), le terme F (=) n'est

plus nul et la formule (25 ) permet alors de calculer les sommes

sans passer par l'intermédiaire des formules du paragraphe 5 (Chap. IT).

Enfin les formules du n°102, traitées par le même procédé, donnent

des relations nouvelles entre les X.

SiN=+3(mod1io)

1/40 JACQUES CHAPELON.

si N=—=—+Er(mod 10)