K I I PO (REF RE
K A? s { PO! — ( I ER 1 pt),
sin? RE K? 2 KR A PQ; =K co124 (gra tas - Re):
dy
E et F sont des intégrales elliptiques, du type de Legendre, fa d') et f : De plus,
4 A costh DAEE ere ; K3 sind
Portant dans notre formule, nous trouvons
f à Knn K® sind cos (KF—KE)+ (RE-Kr- ee 0
sin?
CEE œil Be. PR: - CS RAI Bar OS + (re A tang d KA E) = N AE
Les termes en F disparaissent; quant à E, il a pour coefficient
K Ki —K(i—K?)+K—K
HN Re TE
Il vient donc, en divisant par K,
À Rat pee x sine cost = K'? Le, ou 2 — cos?4 — (1 — K?)sin?, 1— K?sin?b — cos?b — (1 — K?) sin?9. CONEND:
Nouvelle formule de réduction.
Cas de x pair.
Cherchons donc à obtenir une formule de réduction introduisant les fonctions déjà calculées, c'est-à-dire les produits
28 PIERRE HUMBERT, i
et Ro; S24 <
D'après la première équation de Poincaré, ces deux expressions sont égales. Lorsque n est pair, on a Ro (pm) (etai.
Posons p®—7, et prenons désormais r comme variable. R,,, considéré comme fonction de r, satisfait alors à l'équation différentielle
r(r —b2)(r — &)y! + = (37 —obr—2ar+ab?)y 1 gr +i)r+K]y= 0.
. Si nous posons
= Vr(r—b?)(r— a),
nous aurons
CNE Nr HS | dt res) dt MEN 2 fe (t— &)F(é) | 2 7 t(t— b?)F(4) /
2n HI k de seen D ee Rue) f. FC) REC)
Tout ce qui suit s'applique d’ailleurs à toute fonction $,,,; quand #2 est pair. De l’équation de Lamé nous tirons
et
De
(n F'(a; Ra RE Cor / Fa) Ra).
Comme nous l’avons fait plus haut, HAIEOENaCnS les polynomes A et B par
l'identité fondamentale ARBRE Te
Nous allons commencer par démontrer une propriété du polynome B, dont nous aurons à faire usage dans la suite.
Écrivons, par décomposition en éléments simples,
Perse Co) RC RE AU rR(7) Pa rR(o) rs D uR' (a) (ai) To; sat
mais, d’après l'identité fondamentale,
Ba) — Ra) É
donc RD (7) en b:(07) I vi rR(r) rR(o) > Ra) ra
Maultiplions les deux membres par r et faisons tendre r vers l'infini : observons que le degré de B est inférieur à celui de r et par conséquent que le premier membre tendra vers zéro. Nous obtenons
LS
B(o)arr re?
R(o) =D RE? (a)
Le même procédé nous permettra d'écrire
B(b2) RD = 22 (= RG) B(a?) ue I
R(a?) => (ai — a) RE (a)
Or la relation (1), que nous avons tirée de l'équation de Lamé, peut s’écrire
