I FE I R

di nu a" b? su PRET AE : R'(@;)

Multipliant par R'°?(4;) au dénominateur et sommant, nous obtenons

B(b) . B(a!) 1 Ra) RE) Ras) — Ru)”

somme qui est nulle, comme étant la somme des résidus de la décomposition

en éléments simples de la fraction rationnelle RG

Nous pouvons donc écrire la formule

B(o) B(b?) B(a?) (a) R(o) + R(G+) * Ra)

c’est celle que nous voulions obtenir.

Ceci posé, nous écrirons

à S Def AR BR MAL BA NE a (3) (en LR le RNCS NP Re R RF/F

D'autre part, ;

A + B' BQai) R'(o) 4e B(a;) F'(a) 1 R

( MIN 4 N PU/ 0 Li ris Ra) (r— ci) R'(œ;) Fa) 7 — a;

30 PIERRE HUMBERT. | Si nous décomposons en ses éléments simples la fraction rationnelle B(r)F(r) FC)

nous trouverons

De Bai) F'(ai) BP) EU) QUE a Ra) Fa) r—u R(r)F(r) | 1f1 B(o 1 B(b?) I B(a?) [5 + r — a? an

Portons ces expressions dans (3) et tenons compte de la formule (2); nous

pourrons écrire }

SR pe (on +i1)R 2 | dti B(a)F 3 B(a?) b2 : [B(6). B(o) pu fa RG) Et Be Re 8009 RE) Ce | ce qui donne NS B B(a) 3 Ba), , [B(#) B(o) an DO Ca AR CG Pad Ne pe | Re"

Faisant N — M; nous verrons alors, en remontant par un calcul inverse, que

le coeffieient de M est Ba?) F BF AB

> Ra) EF ER IUUR

Nous avons ainsi obtenu une expression de S en Me de M, quantité déjà connue. Si nous portons cette expression dans la seconde équation de Poincaré, dont le premier membre, c’est-à-dire le coefficient de stabilité d'ordre n,est

TS UE M 2n +I | nous obtenons | ARORUE B(a?) FR? BRF' BR Ba) R?

la quantité entre crochets se simplifie en vertu de l'identité fondamentale, et si nous posons

> RG) RG = CDI),

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. si:

nous pourrons écrire R2(7)

CHAN L2M F(7) Tr) + 0(r)].

C’est là une expression très simple pour le coefficient de stabilité. En la transcrivant avec les notations de M. Liapounov, nous verrons combien la : formule donnée par cet auteur est compliquée en comparaison. Mais nous allons traiter auparavant le cas de 7 impair.

| Cas de x impair.

Dans ce cas, plus compliqué, nous avons

Ruo(s) = p(p?—)(o— 02)...

et, en prenant encore pour variable p?— 7,

RO EE Var (re rt)

Nous poserons 3 R(r)=Vrw(r) et nous reprendrons la notation Hero ei).

L’équation de Lamé nous donnera les relations

Y'(a;) L Ca)

\” (ai) ER dj Fa) ‘

Nous introduirons alors les deux polynomes À (r) et B(r), de degrés respectivement inférieurs à ceux de Wet Y’, tels que

Nous écrirons alors

Ar) Y(r)+B(r)L'(r)=1.

S dd dé NT ACT D pl de (on +1)R = f RCE MEN ANPTTES E ty? Fi ou, après une intégration par parties,

S ji) (ES ji) HE

Cn+HIR rwF TETE

Nous poserons momentanément f(r)=F(r)=r(r—a)(r—06?).

Afin de faire apparaître les termes qui figurent dans l’intégrale, nous décomposerons en éléments simples l’expression

| D Ho) à AGE ECS) FA

On a, en remarquant qu’il y a une racine double, r — o, d’où une complication At grande que dans le cas précédent,

DEN fe) MO) D ON) Cup ete)

TV f Wa) fo) ras a?W(a?) r Ta b2W(b?) r — bp? Yo) Bo) 1 Blo)f'(o) Bio) W(0)

t RME CO} ar El 0) lo) ER re

Bio)fe Bio). r' Bo) (ot Do) Fou (0) 1

rW(o)f rW(o) 2rW(o)f'(o) a?W(o) r — a? ne bY(o) r — DER

/ Nous en tirerons

nie LMD B(o)f Ha) Ne Ro R a U'(a;) fl) ra rf. rY(o)f aY(e)r—a? bWY(b)7r— b? Bo). Bo)Y'(o) Bo) à Bo) A rW?(0) aW(o)r—a b?W(o) r—b?

Les relations que nous avons tirées de l'équation de Lamé nous permettent d'écrire d’autre part

DC) Ce) ra 0 SD CE Ca) NS D), À De a = ai (di) er DS a; W'(a;) re)

La décomposition en éléments simples nous permet d’ailleurs d'écrire la relation suivante :

ÿ vw’ SN AGAES ; +9 B (6) + DB (o)w"(0)

FAN AU En dos) °r — a; BW (6) r — 8; ds rW(o (o) (0)?

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. 35 les B; étant les racines de Y”, ainsi que

LE D (45) RorA de B (0) B'(0) 3 (o) W' (0) . y a? W(a5) ue HEArR r?Y (o) rw(o) r Y?(0) l D'ailleurs 3 (3) PROS ENT Be (Bi) Cr — f5) D ue (Ba r — 6 et

A A'(8:) out Wi(o).

PP du BW" BD r— Bi ro)

Toutes ces relations nous permettent d'écrire

Da BD (a) flo) RAA > 3 y" À (0) y” (0) À FA) B (0) di War) fou) r— a r UV"! "rW(o) (0) rw qe © rEV (0) | B'(0) Bo) (0) eu (0) Dr Co) LE r W? (0) AT A TON

ou enfin, après réductions, en tenant compte de l’identité fondamentale, \ » D ALL CCR AU (0) 2

ANT) fn re or rw r#Y(o) lrW°t)

Comparant alors les deux expressions que nous avons trouvées pour cette somme et reprenant la notation F, en nous souvenant que

[ Pl ie — 2 Ê ) Î F nous obtenons la relation ND Br (1) Sr PR AD A 0 = De (io Bo) , Bo). B(0o) , (0) (0) QTE: r? w (o 0) « 1? L' (0) rw r (0) ji rs (o) 7h w?(0)

Ta Wa) RE NOM DR) RES DIN a (a) rar bo) re b2

Ba) Bo) 1 B (0) DE 10) 1

Nous avons au premier membre l'expression qui figure dans l'intégrale que nous voulons réduire. En y portant cette valeur et en éfectuant une intégration

He: Ÿ

par parties, nous trouvons 25 dre ÿ à 3 (o) (on HAa)R TT rwE rW(o)F

dt 2 Ba), sf F |: Vo) @Va)i a DV) 10 | (0) Ka B'(o) Bo) |

B (0) 1 Me a Yo) ta * bEW(o) tb | EW(o) #W2()

Nous simplifierons l'expression entre crochets en nous servant de la formule (1) ci-dessus. Multiplions par r les deux membres de cette égalité, et

faisons ensuite r infini. Nous obtenons

3 (o) 5 3 (o) 3 (a?) 3 (b?) (ae aW(a?) b2W(b2)

se 2 3 (0) 3 (0)W!(0) Fo Vo 7 Po et | Fo)

C’est cette formule qui va jouer ici le rôle que jouait, pour 7 pair, la formule

B(o) B(4?) Ba) Rio) FREE) Rae |

Afin de simplifier l’écriture, posons pour un instant

FAO MECo) Ma Cor) 3 (0) 5 3 (a?) de a? WW (0) DRE) MES (0) B (b2) bW(o). WE)

La formule (2) s’écrira alors

(9) et expression figurant entre crochets sous le signe d'intégration s’écrira