HE + PRÉ QT UT CODE

ce qui, en se servant de (3), pourra être mis sous la forme

OO I où I I 1 b? ; l = Er, RATE Re Ne RP ET 2 ON pense et )

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. 35 ou d \

En portant cette valeur dans l’inté Met N, et nous obtiendrons

S D D (o) Lx mn 1 b?

DR RER SN AD D) EC 21. à eee MS pres dr) os A

grale, nous ferons apparaître les quantités

Comme M = N, l'expression qui multiplie M est

SNA I b? K" l m n

ce qui est égal, d’après (1), à

FACE D Br A 3 (0) a 3 (0) F' D (a?) F' or TE 0 7 r2W(o) rW(o)F . a W(a) F°

Le coefficient de stabilité étant

| RS | LR C(r)=M— © = M — ÿr —— 5, | DIET ere

nous aurons, en portant dans cette expression la valeur trouvée pour S, et posant

Wa) W(o)| rw rWY(o)

I jee en js ñ RSR

E(r)=— ne [2 ME (#)I(r) + (r)].

C’est la même expression que dans le cas 2 pair; mais la fonction II n’a plus la

même signification : le rôle qui était Joué par la fonction K est Joué 1c1 par la fonction

Il serait également possible d'obtenir une formule de réduction analogue, et d'apparence plus simple, en introduisant le polynome

d(r)=VrR(r)

et en considérant les deux polynomes A et B associés à ®. Mais il est inutile

d’insister sur ce point, puisque l’on serait conduit au fond à des calculs plus compliqués, le degré de ® étant supérieur d’une unité à celui de W°. Nous nous en tiendrons donc à la formule que nous venons de donner.

Remarques générales sur les fonctions de Lamé.

| . / . n A r + " Ainsi que nous l’avons dit au début, ces formules sont spécialement adaptées.

au cas actuel, c’est-à-dire au cas où l’on connaît les fonctions S,, et S,,. Nous ferons remarquer que, suivant les besoins, on pourrait introduire d’autres fonctions S. Revenons en effet au cas où 7 est pair : nous étions arrivés à la relation 5

S ANA I dt Boots BE 1 a (a 1 | a ne nt R(o)r R(b?) r —b? R(aæ)r—a],

“w.Telle-qu'elle est écrite, cette formule est une formule de réduction de Su aux trois fonctions S d'ordre 1, S,,, S,, et S,,. En nous servant de la relation | B(o) , B(U), B( R(o) R(b?) R(

nous avons conduit le calcul de façon à faire apparaître S,, et avons eu la formule cherchée en fonction de S,, et S,,. En suivant une marche parallèle, nous aurions pu obtenir une formule de réduction aux fonctions S,, et S,, ou Si et S23. Ces relations, inutiles ici, pourraient peut-être trouver leur application dans d’autres problèmes.

De même, dans le cas de 7 impair, nous avons obtenu la formule

S 3 3 (o) PU TAENE m n PT RR E N ee re rc mer Cl F (: meer (2r +1)R rÜE ONE ANSE 1 a? Ur) ou : 2 3B'(0) B(o)W’(o) = = ZA ) W? (0) 0) (0)

formule qui, en tenant compte de la relation l+m+n—=o,

permet de la même manière la réduction soit aux trois fonctions S d'ordre ts soit à une fonction S d’ordre 1 combinée avec une fonction S d’ordre 2.

Enfin, on peut très facilement étendre la méthode que nous venons de donner à des fonctions de Lamé d’un type autre que celui qui figure dans les équations

5 ER ’ . . . + . “r Al L a Poincaré. Ainsi considérons la fonction S associée à une fonction R de la orme

Î P étant un polynome en #°. Nous poserons encore pire

R(r)=Vr—aæw(r).

Les équations de condition seront

On introduira les polynomes X et ÿ dépendant de Yet W”, et l’on suivra pour la réduction une marche absolument parallèle à celle que nous avons suivie précédemment, quand nous avons traité le cas de n impair; mais les fractions rationnelles que nous aurons à considérer admettront, au dénominateur, a comme racine double. On arrivera à la formule

D Ba) ue LRU |

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avec re Jin tu) (a) (0) (a) | 77 a) a Va) D (a?) (02)