TOR

CG a) Ge)

En tenant compte de la relation

ltim+n—=o, nous réduirons de la même manière S à une fonction d'ordre 1 et une fonction

d’ordre 2.

Une fonction S associée à une fonction R du type

R= Ypo? bEP(o2)—=yr bi (r)

admettra une formule de réduction tout à fait analogue

S si FL) 3 (6?) pet re EL | CR OR re Pa?) ENS RME UT RE

avec ARE jar de ae D AE OS) 7 w2(b?) ni W(b?) ie w?(b?) 4 PA AE Da mn 7 DV) bW(7 Me DB (02) D (a?) (ar ECO?) are (S) et

lLm+n—o.

Ajoutons, sans insister davantage, que l’on peut obtenir ainsi des formules de réduction pour les fonctions des divers autres be La fonction S associé à

He Votes

par exemple, se traitera de la même façon, en introduisant des fractions rationnelles ayant deux racines doubles au dénominateur.

(b)=rvr=BY(r),

Passage aux notations de M. Liapounov.

Nous avons supposé dans tout ce qui précède que la première équation de Poincaré avait été préalablement résolue par la méthode de M. Liapounov.

R Cette méthode donne le moyen de Faites la quantité A; étant posé, comme

nous l’avons déjà signalé, }

A est par conséquent ce que nous avons appelé F, et R n’est autre chose que ce que nous avons désigné par M. Nos résultats s’écrivent alors de la facon suivante : ;

° Cas de n pair. — Le coefficient de stabilité pourra être mis sous la forme

Er — — por A(s)n'(e) + N(p)}

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. 39 avee 1 B(o) B(o) ATOS NE eee i RER SEE ETS)

B étant le polynome de degré inférieur à celui de E, défini par l'identité Ab DRE.

À étant un polynome de degré inférieur à celui de E’. 2° Cas de n impair. — Nous avons, dans ce cas,

LÉGER À (a VRP EE et nous poserons

E — Ve + I y.

Nous considérerons alors les polynomes À ei 3 associés à W° et W”, et nous obtiendrons

Ts 2 OfeR A (e) We) +1 (8h avec ste To) € 0 3 (e) B(—1) RE TT A to) er le GED We le ED a)

Il convient de présenter ces expressions sous une forme un peu différente, plus 1 ‘ te RUES propre au calcul. M. Liapounov, en effet, mettant en évidence la quantité A--, A qui est déjà calculée, considère, non plus T,,,, mais une expression égale à T,,,, à un facteur positif près, et qui, par conséquent, a le mème signe que T,., et

s’annule avec lui. C’est cette expression, qui joue un rôle fondamental dans le calcul des axes du Jacobien, qu’il désigne par le symbole

x . (l Nous trouvons pour J la valeur suivante :

avec, pour 7 pair,

et, pour 7 impair,

"=! [90 rn+ Ho Arr 2 Cent) MONET)

| (o) ch Y(— 1)

4o PIERRE HUMBERT.

Identité avec les formules de M. Liapounov.

M. Liapounov présente la quantité J sous la forme suivante :

avec les significations, pour le cas » pair,

te VD ee |

qg(i—q}e E?

ÉTAIT ijtoce a)

K=E()|P+ se +g( + Je] i A

Don I E(o et | H > 2h hi) 9 Eh Eh) ne 1