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I I ME Ag 2 G— hi) q) Eh) Dans le cas # impair, on a, en posant

b(e)=Ve+rE(r)

avec

—— (oi) EE TE EE A RE OR REA ro nn DA enT ennure eut

De Sa ; ag D Han (SRE

LE Run. a DE nt

L a la même expression que dans le cas 7 pair.

Il est inutile de faire remarquer à quel point ces formules sont plus compliquéesque celles que nous avons indiquées. Même pour le cas le plus simple, —4, M. Liapounov est conduit à de très longs calculs pour exprimer les sommes figurant dans K et dans L, et il est obligé, pour les simplifier, de faire appel aux équations de condition tirées de dr de Lamé. Dans les formules que nous proposons, la seule difficulté réside dans la formation du polynome B

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. 4x

(ou DB), qui d’ailleurs se déduit de E et de E’ par des opérations rationnelles, et sans que l’on ait besoin de connaître les racines de E.

Étant donnée la profonde différence de forme qui existe entre les formules de | M. Liapounov et les nôtres, il est nécessaire de prouver qu'elles sont iden-

tiques. Nous allons partir des formules de M. Liapounov, et les simplifier par l'introduction du polynome B associé à E et E’. Commençons par le cas de » pair.

Cherchons à exprimer les sommes figurant dans K. Par décomposition en éléments simples, nous avons

B(e) AB (6) B(—1) e(p+n(p+g)Ete) gpEto) G—gp+)EC : 5 B(— q)

GTR GE)

B(— Ai) EE +Y hifi — hi) (hi q)E(— hi) o + h;

Comme, d’après l'identité fondamentale, on a

| PR es ete ( ti) E/ (2e hi) ; la somme qui figure dans cette relation n’est autre que 2P. Ecrivons de même ; B{S) A) Bla)

oE(o) fe o E(o) +Ù k;E2(— R(e+h)

En multipliant les deux membres par p, et faisant tendre b vers l'infini, nous ,obtenons

d’où Le même procédé nous donnera ;

2 DCE NT SM PRE 8 SP da Eee Po Lee DITES R > G— hi) Ci qg)Er (hi) (g—n)E(-i) G—g)E(-a) ce qui nous permet d'écrire

5 BONES F4) Pat EC 1) 40 DEC 9

fa PIERRE HUMBERT.

Portons ces valeurs dans l'expression de K, en tenant compte de la décom-

position 1 I I I

K A? I HAE E(o)

à rene n * rnenllée

B(= 1) En)

B (eq)

Il est facile de voir que le second crochet est nul; on le LORS à partir

des équations de condition tirées de l'équation de Toner

1 1 1 E"(— hi)

hi sh hi— q Fe RAT A dy (— hi)

en suivant exactement là marche que nous avons suivie plus haut pour dé-

montrer la formule B(o) B (0?) B(a?)

Ho) RON Bi Nous obtenons donc enfin an Poe 1 B(o) E? To E(o) 4 E(o) ou KA?—-E?(5)H(e) Passons maintenant à l'expression L.

Nous écrirons 3 Bo) q —1 B(—:1) D De DA EE EU REA PRE RER RER RES REP en Of SA I k I

Ha) FEI pra En tenant compte de cette identité, ainsi que de

BU E(o) E(— 1)

Brra) E(— 9)

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. 43 nous aurons

+5: RE E n étre 21) à 2 [p E(o) +1 E(—r) p+gE(—3ga)l]| Par les procédés de décomposition en éléments simples que nous avons déjà si Souvent employés, et en utilisant les équations de condition, nous trouverons

MBA DB (0) 1 B(—:1) DD eg ARE!

, L=pi+HES Ar pe).

Mais, en remarquant que.

1— AE — BE et que BE — BE'— F2H7,

nous obtiendrons

d’où enfin

ce qui est exactement la formule à laquelle nous étions arrivés directement. Passons maintenant au cas » impair.

Nous calculerons les sommes d’une façon analogue, mais il faudra considérer des fractions rationnelles ayant la racine double 9 — — 1 au dénominateur. Nous trouverons ainsi

pie ere | dr) ET et | TN 2) B'(—:) 1 Za=nlu—-)reo :

po se)

W?(— 1) (g—1)W(—1) L'ETETI E

En nous servant de l'identité ,

I ll I

- NA EDP LUTTE (GE) (DE TAC DÉS T ON ES OREE nous mettrons aisément K sous la forme suivante :

3 (+4 26H) AMV) AM W(0)

Mes ae ot je bis sense Yy(o LS W?(— 1) 0 CO A NEA EM ot a ONE) ea TE (eo te ES sn

On démontrera sans difficulté, à partir des équations de “hier que le second crochet est nul, et l’on obtiendra par conséquent