LA SURFACE DE POINCARÉ D'ORDRE
Après avoir recherché d’une façon générale les éléments des surfaces de Poincaré, nous allons en étudier quelques-unes en particulier. Aux valeurs n — 0, 1 et 2 du paramètre de l'équation de Lamé ne correspondent pas de surfaces de Poincaré : la première qu’on rencontre est donc la surface de Poincaré d'ordre 3; c’est celle à qui Darwin a donné le nom de pear-shaped figure, et qui est Hu classique sous le nom de figure piriforme où piroïde. Nous allons présenter quelques observations sur la forme de cette surface.
La figure qu’a donnée Poincaré dans les Acta est bien connue. Elle a été reproduite dans les Figures d'équilibre, ainsi que dans le Mémoire de Schwarzschild. Elle affecte, en effet, la forme d’une poire, avec des inflexions nettement accusées. Mais elle ne repose sur aucun calcul, et lorsque Darwin, après avoir calculé les axes du Jacobien critique, fait à son tour le dessin des sections de la surface par ses plans de symétrie, il trouve une forme bien différente, beaucoup plus allongée, convexe et plutôt ovoïde que piriforme. Ces deux schémas, celui de Darwin comme celui de Poincaré, ne tiennent compte que de la première approximation. Ultérieurement, Darwin a donné une nouvelle figure, en poussant jusqu’à la-deuxième approximation; et la forme de la surface s’écarte encore beaucoup plus de la forme proposée par Poincaré.
Les résultats de Darwin relatifs à la première approximation appellent quelques remarques.
Son dessin a été fait en donnant, à la quantité e qui figure dans la définition de la surface, une valeur arbitraire. Nous sommes alors en droit de nous demander si, en donnant à € quelque autre valeur, on n’obtiendrait pas une surface dont la section par ses plans de symétrie présentât des inflexions, rappelant par conséquent le schéma de Poincaré. Nous allons démontrer de façon rigoureuse que 6 est impossible et que la surface piriforme, définie au point de vue mécanique et considérée en première approximation, est toujours convexe.
Propriétés et équations de la surface.
Nous allons commencer par résumer les propriétés déjà connues de cette
surface.
SI
Les axes du Jacobien critique (en supposant toujours son volume égal à
sont, d’après Darwin, \ C—1,885827;
M. Liapounov, par un calcul plus précis, a corrigé quelque peu ces nombres. Des résultats qu’il obtient, QD IOP ET PT 0; 80170, 0,076908 <q 6,076013, il déduit { 1,889629<7 CZ 1,885652, 0,819031 << B<0,815040,
Dans la suite de ce Chapitre, comme il s’agit de comparer les résultats de Darwin à ceux de Poincaré, nous prendrons les nombres de Darwin, quoique légèrement erronés, et nous adopterons les valeurs Au
C'r1,8858; des D OLdO) À — 0 ,6507 à Nous en déduirons À LA 3 HOT
Or 2 8010.
La surface de Poincaré d'ordre 3 est définie par le dent normal
| t M3,0(4) N3,0(%) VC COP EC)
à partir du point w, y du Jacobien critique (déterminé par p — C). Les/fonctions M,, et N,, sont les fonctions de Lamé conjuguées de la fonction
où « est inférieur à L?; ou, en explicitant cette constante «,
Ron pfe— à (a+) + LV e |.
On a d’ailleurs a — 1,8000.
Te ee plans des zx et des yz sont des plans de symétrie. | L’intersection de la surface et de l’ellipsoïde dont elle dérive se compose | de l’ellipse principale, section de cet ellipsoïde par le plan des xy, et de deux lignes de courbure de l’ellipsoïde, définies par
VV. À Nous rappelons que c’est l’axe des x qui est l’axe de rotation. Cherchons à présent les équations de la surface Les coordonnées d’un point de l’ellipsoïde étant x, y, z, et les De Aoitie es du point correspondant (*) de la surface de AE étant X, YŸ, Z, nous pouvons écrire
' L x? y? 22 72 NT BRÈTE ( ER re Br Ur a) ) sh æ? y? 22 T2
2 PDA R (RER
La fonction €, exprimée en fonction des coordonnées +, y, z, a d’ailleurs pour
(*) Nous disons qu’un point P d’une surface de Poincaré est le correspondant d’un point Q du Jacobien quand il est situé sur la normale en Q à l’ellipsoïde, à la distance £.
SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. 49 valeur
f 2 2 = 0) 20) 2 RS V4 Zz re a $ (= PRES F œ + Lurer ;
Si nous représentons l’ellipsoïde au moyen des coordonnées elliptiques et v, comme on à
LAVE) Fee ao as)
AV emo)
SV m0 A) NO) ne) Re se nues AV ane en pe VF 70e)
5/0 OV UE cp (ui a) (2
Fm C6
ER 4 RAT Eire NU RE) È Co ab TE Cab Er Y (p?— C2) (v2— C?)
Cette forme, qui peut être utile à l’occasion, ne serait pas satisfaisante pour le but que nous nous proposons. Il sera préférable d'introduire les angles ® et Ÿ,
tels que æ = À cosv cos,
y = Bcoso sind, 3 = Csiny.
On écrira alors
X— À cosv cosd,+ BC cosy cosbP ?,
nee
Y = Bcose sind + CAË coso sind pr é 1
1= Gsing + ABC sino P D
avec P = B2C?2 cos?e cos?d + A?C? cos?o sin?d + A2B? sin?e
50 PIERRE HUMBERT. + et
2 2 24 2 cos?v sin?{ C2 sin? —= = Cesing( RER + CRIE EE — ) PE
où — a? a +6? d
Discussion de l'équation des points d’inflection.
Considérons la section de la surface piriforme par un de ses plans de symétrie. Soit, par exemple, le plan des zy. Les équations de la courbe s’obtiendront
en faisant cosŸ — o; on aura donc
Y = B cose + CE cos®(C? cos?6 + B? sin?o) ?,
Z = C sine + BK, sine(C? cos?o + B? sin?v) ?, avec
; 1 é a — C A fe \—5 Co — Cesiny (b? sin?© — 4)(C? cos?o + B?sin?œ) *. È (e À
(a — b?) Nous écrirons Y = B cosy — n Ccosv ®, Z — Csino — n B sino D, avec ; | D — sinv(b? sin? — x) (b? sin?o — C?) !.
Le coefficient n est égal à € multiplié par un facteur constant. Avant de former l'équation des points d’inflexion, cherchons si l’on peut dire quelque chose sur la grandeur de n.
° 1: . ‘ TT 7° Considérons l'aspect de la section entre les points © — — ; c’est-à-dire le
sommet À de l’eliipse principale, et sing = — # c’est-à-dire un point de
rencontre P avec cette ellipse. Représentons l’ellipse en ponctué, et la section du piroïde en trait plein.
Brest
Ga eo eo. Fe
ee
Remarquons que, le point P étant fixe, la longueur AN est indépendante de n; la distance AM au contraire dépend de 1, étant égale à
Bn(b?— a)(b?— Cyr.
Lorsque y augmente, le point M tend par conséquent à se rapprocher de N;
des valeurs convenables de 1 auraient même pour effet de faire passer M entre N et O; la surface aurait alors un rentrant sur l’axe des z, ce qui, au point de vue mécanique, ne peut évidemment pas se concevoir. Cette idée avait déjà été esquissée par Darwin (!), lorsque, construisant la section du piroïde pour une valeur particulière de e, il regrettait de ne pouvoir exagérer cette valeur,
ce qui aurait pu être intéressant pour donner une idée de l’évolution de la surface. |
Cela va nous conduire à une limite pour n. Si nous traduisons en effet en nombres l'inégalité
.AM<AN, nous trouvons, n L0,2228.
Il est d’ailleurs inutile de faire remarquer que c’est une limite très supé- : M < à “Se s D LTE rieure. Nous ferons remarquer aussi qu’il suffit de faire varier o de o à -; r 2
on n'obtient ainsi qu'un quart de la section; mais d’une part cette section est symétrique par rapport à l’axe des 3; et d'autre part, on peut considérer le second quart comme correspondant à 0 9 + avec n négatif. Nous donnerons donc à n des valeurs tant positives que négatives.
Formons à présent l'équation des points d'inflexion, c’est-à-dire
VII ZINT", Nous trouvons V2! — DY'=BC— n[(2C? — b?) D + b? sine coso D’ + (b?sin?o — C?) P”] + 12 BC(2%°? + D? — pp").
Cette expression se compose donc de trois termes :
1° Le terme constant BC, dont la valeur est 1,537;
2° Un terme contenant n? en facteur; il'serait facile de voir qu'il est toujours petit et positif; nous le négligerons;
30 Un terme contenant 1 en facteur. Si nous posons b?sin?6 —4{, nous écrirons le coefficient de — n sous la forme suivante :
A ee +5 Ge +03 a) + 3C2(C?a — 2b?a + 2b2C2)].
(2) «It is impossible to construct an exaggerated figure, for if we do so the blunt end acquires a dimple, which is absurd, »
ho PIERRE HUMBERT.
Calculons f'(4).
Si nous désignons le polynome entre crochets par
lB+ me + nt+p,
la dérivée f’(4) s'annulera avec le polynome
— ol + (50 5m)+e(5Cèm—5n) +4(3C?n —3p) + C?p.
Dans l’intervalle considéré, c’est-à-dire
