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DNA SPA ITU: PR À C+on'o?

Pi nc Ci + n°0?

Sr A Ci+2n?o?

Le lieu de K est donc une cubique unicursale. Si l’on transporte l’origine au pseudo-sommet, l’axe des æ étant pris pour axe polaire, on voit que cette cubique se déduit. par la combinaison

PT Pie des deux courbes he C? cosw DEN El, 2À 1 Esin?v et C2 PARUS À DES,

qui sont, la première une ellipse passant par le pseudo-sommet, et la seconde une droite tangente à cette ellipse. Le centre de courbure K se déduit d’ailleurs du centre de courbure w de l’ellipse par La construction simple suivante, dont la démonstration est évidente :

t Menons en A la tangente AT et la normale AN à la section, la tangente AG

à l’ellipse, et par w la parallèle à AO; AT coupe cette droite en D : menons DE

perpendiculaire à AD, jusqu’à sa rencontre E avec A6. La droite Ew coupe AN au point cherché K.

Nous énoncerons enfin la remarque suivante :

Le lieu des points de la section où la tan gente est parallèle à la tangente au point correspondant de l’ellipse se compose des normales à l'ellipse aux

points dé finis par

SIN = UV C2 CV Sr

et du grand axe de l’ellipse, solution évidente.

Dimensions des sections.

Pour compléter ce Chapitre, qui est en quelque sorte une monographie de la surface piriforme, nous donnons les valeurs des axes et les coordonnées des

Fig. 3. — Surface de Poincaré, d’ordre 3.

Section par le plan des æs.

PEL es

Section par le plan des yz.

Section par le plan des zy.

points fondamentaux des sections par les deux plans de symétrie. Nous partons

cette fois des résultats exacts de M. Liapounov; il y aura donc une très légère différence avec les nombres donnés par Darwin.

Axes du Jacobien critique :

d’où A2 19192 19:

2380123; et ° 4 — 1,79983.

Section par le plan des x3. — Coordonnées des points fondamentaux : = 0,42438; | ÿ 2 —1:42090!

Section par le plan des VZ. 2 Coordonnées des points fondamentaux : Y = 0,50066; 3 = 1,47786,

et, dans chaque section, les symétriques par rapport aux axes.

Nous donnons en outre, dans la figure 3, les sections, par les trois plans de coordonnées, du Jacobien critique et de la surface de Poincaré. Cette figure est, à très peu près, la reproduction de celle qu’a donnée Darwin (').