RP NE AR

nous calculerons facilement «, et ,. Ces deux quantités, et la constante K de l'équation de Lamé, satisfont aux équations

Ka; + as) = {(a? + b?)(as + 42) — 20502 + 4a?b?, K — 16(a? + 02) — 14(04 + &), 24 b?(a, + a) = Ko do.

On en tirera &, + % par l'équation du troisième degré 492 — 98 (a? + b?) 2? + 4x[i2(a?+b?)+13a?b?]— 48a*b?(a? + b?) = 0

dont on devra prendre la racine comprise entre o ét 20?;'puis on calculera &,«,, d’où &, et ,, inférieurs à b?. On vérifiera ces calculs au moyen des résultats de M. Liapounov. Nous avons signalé en effet que, entre les «; et

les h;, existait la relation = a(1— hi).

Nous trouvons, dans le cas actuel,

dy = 0990.

Poincaré a indiqué que le déplacement normal à partir du Jacobien critique H. 8

58 PIERRE HUMBERT. fe

est en première approximation

M, ou) N,. o(v) | Vi 0007 0) | ,

ee qui s'exprime en fonction des coordonnées cartésiennes par la formule

, be ve 3?

= ef + ——>© + — —: de.

A— a? CNE 0) x? y? z2 x? . y? 32 \ x (++ (++)

On voit de suite qu’il y a deux surfaces de Poincaré d’ordre 4 : la première, que nous appellerons surface positive, correspond à des valeurs positives de e; la seconde, surface négative, est définie par les valeurs négatives de e(*)

On trouve dans les Figures d’ équilibre un schéma de la surface positive, ne reposant sur aucun Ur M. Liapounov, quoique ayant calculé les éléments de ces surfaces, ne parle pas de leur forme et ne donne aucune figure. Nous nous proposons d'étudier la forme des surfaces de Poincaré d’ordre 4, considérées en première approximation.

Notons que les six sommets de la surface positive (c’ est-à-dire les points situés sur les axes de symétrie) sont tous extérieurs au Jacobien critique, tandis que ceux de la surface négative sont tous intérieurs à cet ellipsoïde. :

Citons enfin les résultats de M. Liapounov sur la stabilité de ces figures : d’après cet auteur, la surface négative est stable, la surface positive dote

Équations des surfaces. Points fondamentaux.

Les équations des surfaces de Poincaré d'ordre 4, en fonction des coordonnées elliptiques sur l’ellipsoïde, x et , sont données par

NET oo re) AP

ae ge, = art Ga Cie)

(*) À toute valeur paire de » correspondent ainsi deux surfaces de Poincaré distinctes,

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. 29 En fonction des angles o et Y, on aura

X — À coso cos d + BCC coso cost P :

Y = Bcoso sind + ACC coso sind ; ; À Z = Csine + ABC sinoP ?, avec P = B? C? 0052 cos®d + A2C? cos?o sin?4 + A?B?sin?o et

c=P (= cos?6 cos?d : B?cos?osin24 ‘C2sin?v ) = Le 1 Lee

Lt — a? (e,4 NT à b? dy

A?cos?o cos? B? cos?v sin? 4 C2 sin?

RAR A Nr ee ne

H2 — 4? Vo b? aa

Les deux surfaces coupent l’ellipsoïde critique suivant quatre lignes de courbure de cet ellipsoïde, définies par

HE (ds

et DRE

Considérons la section des surfaces par les plans des xz et des yz3. Il sera facile de calculer les coordonnées des points de rencontre communs des deux sections avec l’ellipse principale. Ce sont les points que nous avons appelés fondamentaux.

On trouve ainsi :

Section par le plan des x3. — Premier point fondamental : sinp, — 0,8559; AV 0 0 LO7e Bi = 20101

Deuxième point fondamental :

SIN Lo — 0,3379 ; Li 0,)700,

sk 22 — 0,7001;

et les symétriques de chacun de ces points par rapport aux axes des x et des 3.

l’une positive, l’autre négative. Au contraire, pour une valeur impaire de n,1l n’y a qu’une surface de Poincaré, un changement de signe pour e se traduisant simplement par une symétrie par rapport au plan des xy.

Section par le plan des y3. — Premier point fondamental :

sin®, — 0,865 ; y, = 0,3008 ; 24e 20000.

Deuxième point fondamental :

sin®, — 0,3410;

et les symétriques de chacun de ces points par rapport aux axes des y et des z.

Existence de points d’inflexion.

Il sera facile, avec ces données, de construire la section de chacune de ces deux surfaces par un de leurs plans de symétrie. Dans le plan des xz, par exemple, on a

X — A coso + CH coso, L — Csino + AH sine, ,

H = n(a?sin?o — a, )(a?sin?o — &2) (C? — a? sin?@) ",

n étant égal à e à un facteur constant près. On donnera à y une valeur arbitraire, petite, et l’on construira la courbe par points. Or si l’on fait cette construction, on s’aperçoit que, même pour de très petites valeurs de n, par exemple n — 0,02, la section semble présenter des inflexions, alors que, même pour des valeurs beaucoup plus grandes de , la surface piriforme n’en présentait pas

On pourrait former la quantité

NUE NEA

comme nous l’avons fait pour la surface d'ordre 3, et chercher son signe : mais ce serait un calcul très compliqué. Nous nous contenterons de prouver que, pour certaines valeurs de y, certains points de la section sont des points d’inflexion.

Quelles remarques peut-on faire sur la grandeur de n? Dans le cas où n est positif, nous ne pouvons rien dire, sinon que » doit être petit; mais nous ne pouvons pas fixer de limite supérieure à n en nous fondant sur des considéra tions mécaniques. Dans le cas où n est négatif, au contraire, en faisant un raisonnement identique à celui que nous avons fait pour la surface d’ordre 3 nous pouvons assigner comme limite inférieure à » la valeur — 0,032.

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. (o:

1! . 5 a È ‘ Formons l'équation des inflexions en un des points fondamentaux. Au point

défini par sin?o — —, on aura a

X'7"—TX'=AC— lue do)(ar— C?+ 3o)—4(a?—2a3) (as — a) (C?— 0)] Lt

+ 8ACc (C2 Fe E 1 KE

Cette expression s’annule pour 1 — 0,028. Donc, même pour cette très faible valeur de », nous pouvons affirmer qu’il y a des inflexions. De même, pour la

2 La L . (o À L . .

surface négative, le point fondamental sin?? — PE est un point d'inflexion pour

Nous pouvons donc conclure en disant que les sections des surfaces de

Fig. 4. — Surface de Poincaré positive, d’ordre 4.

Section par le plan des æy.

Poincaré d'ordre 4 sont susceptibles d’avoir des inflexions, et nous tracerons ces sections en conséquence.

Les figures que nous donnons sont à la même échelle que celle de la surface d'ordre 3. La comparaison du profil exact de la surface positive avec le schéma

Fig. 5. — Surface de Poincaré négative, d'ordre [2

Section par le plan des æy.

de Poincaré montre que le Jacobien critique est beaucoup plus allongé qu'il ne le supposait, et que les points fondamentaux ne sont pas disposés de la même façon. Néanmoins l'allure générale de la section n’est pas trop inexacte, et en

tout cas ce schéma se rapproche beaucoup plus de la réalité que celui de la surface d’ordre 3.