PP =Y

(| \ \ ce qui nous donne

HA QT DUC UNS a poire) ui pb pu—es,. : —b=pr—es,

= pu — 63, VE = pp — 63.

Introduisons la notation habituelle OUI Vpu — Eye

Nous pourrons alors mettre ies coordonnées d’ un point de la surface piriforme sous la forme suivante :

Î = ns VIBAE A?) (CES A2) UPS | : (dou— a) (02,0 — a) Op U 530 V 530 LU O Pa TAN ES LE avan PM PRIT LT) (ete 0) = ICE BI) CARE) £ | (CEPRZ a) (S5ov mt) DEA EN ES CE er TE U 020 F 30 U O: EE PAUENT COTE TEA DNS GER BYCAI— BR) (CB) D (ou C)(o,v— Cr à 2 PARU D MANEES V7 Den Ein € one (oiou—a)(d5,v — 4x)

ab CA ‘Te NET ATENE Il ne faut pas oublier que, dans ces formules, a, b et C ne sont pas arbitraires; ces trois quantités sont liées par les équations de Poincaré. Quant à «, il ne dépend que de a et b : c’est la plus petite racine de l’équation

e est une constante arbitraire; nous pouvons, en nous affranchissant un peu du strict point de vue mécanique, supposer qu ‘elle est quelconque et non plus seulement petite; nous définirons ainsi une infinité de piroïdes formant une famille.

Ombilics des surfaces de Poincaré.

RES représentation de la figure piriforme au moyen des fonctions de Weierstrass est celle qui permet le mieux de rechercher les propriétés géométriques générales de cette surface. Malheureusement, même sous cette forme, l’expression des coordonnées est encore bien peu EAP et il ne faut pas espérer obtenir beaucoup de résultats intéressants.

| Les fonctions les plus élémentaires des coordonnées, par exemple les coefficients du plan tangent au point 4, », sont d’une grande complication. On peut : néanmoins les former aisément pour les points où (—o, c’est-à-dire le long des lignes d’intersection avec l’ellipsoïde, ce qui introduit une grande simplification dans les calculs. On constate alors que, ni le long de la petite ellipse principale, ni le long de la ligne y — + Va, le piroïde et l’ellipsoïde ne se coupent sous un angle constant. Ces lignes, qui sont des lignes de courbure pour l’ellipsoïde, n’en sont donc pas pour le piroïde.

L’examen de l’expression des coordonnées nous conduit néanmoins à un résultat intéressant. Si nous formons les dérivées partielles, par rapport à w et», de X, Yet Z, en noussouvenant que :

TE U——0,u0,,U;, nous constaterons que chacune de ces six dérivées partielles contient en facteur soit s,,4,soits,,?. Elles s'annulent donc toutes ensemble pour #,,u=5,,9—0, et les points ainsi définis sont dès lors des ombilics pour la surface piriforme. Or ces points, qui sont définis également, sur l’ellipsoïde, par uw? = v? = b?, sont les ombilics de l’ellipsoïde. D'où le théorème :

Les points correspondant aux ombilics de l’ellipsoiïde sont des ombilics pour Le piroide. s

Nous ferons remarquer que ce théorème est vrai pour toute surface de Poincaré, quel que soit son ordre. Une surface de Poincaré quelconque est en effet représentée au moyen des fonctions s par les formules

X — - A 0104 10€ ER RERO L IE SPA EMe Sr e), VB? — A?)(C?— À?) A (Be A) (CSA) B € V —. Son U 020? + — Too UO20V H(u, re), D VTARZ BCE) (Ù BV(AB)(œ—P) Ÿ Z == Edo U ao Ÿ pop Po U Pro 0 (ue, v),

avec, si la surface est d'ordre pair, n = 2p,

(d,u— a)... (diou—ap)(9560 — um)... (dot — ap) (9504 GE Core")

Hu, ») =

et, si elle est d'ordre impair, # = 2p +1,

H CHLE DMC 2e ap) (9309 M): (800 —%p) 2) — £ ne EU 70 ot 2 C0 0 NUE VI SU (u, 0) = sou S30P (oi,u —C)(02,e — C)