HISTORIQUE DE LA QUESTION

La théorie qui nous occupe a donné lieu à des travaux formant deux groupes distincts, et totalement indépendants l’un de l’autre : d’une part, les célèbres études de Poincaré, complétées au point de vue pratique par G.-H. Darwin et M. Ladislav Bénès; d’autre part, les très importants Mémoires de M. Liapounov. Nous allons les passer en revue successivement.

Les travaux de Poincaré.

C’est en 1885 que, dans une courte Note (‘), Henri Poincaré annonça qu’il venait de découvrir une infinité de nouvelles figures d'équilibre pour un fluide en rotation, dérivées des ellipsoïdes de Jacobi. Presque en même temps, l’auteur publiait, dans les Acta mathematica, l'exposé détaillé de ses recherches, en un Mémoire (?) qui reste toujours l’Ouvrage capital sur la question. Poincaré commence par y donner la démonstration de plusieurs propositions énoncées par Tait et Thomson, en particulier à propos de l’anneau fluide, puis, développant les principes dont il vient de se servir, il passe à l'étude des figures ellipsoidales et obtient, pour les ellipsoïdes de Jacobi, des résultats qu’on peut résumer ainsi : ;

1° Il existe des figures d'équilibre non ellipsoïdales, infiniment voisines de certains ellipsoides de Jacobi, dits de bifurcation ou critiques.

2° L’axe de rotation étant pris pour axe des, les axes o, Vo? — b?et Vo? — a?

(1) Comptes rendus Acad. Sc., 1. CI, 1885.

(°) Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d’un mouvement de rotation (Acta mathematica, t. VI, 16 septembre 1885).

; : 5 SBE , £ A : : :

d’un ellipsoïde critique doivent satisfaire aux équations suivantes :

R, me ans RD RES:

o DT YEN

Dans ces équations, R,= Vo? — 4°, R,— 9 15°; R, est une fonction de Lamé de », d'ordre », qui n’est divisible ni par ÿo° — &?, ni par ÿ5° — b°, et dont tous les zéros sont inférieurs à b?; les S sont les fonctions de Lamé de seconde espèce correspondantes. Ces deux équations permettent de déterminer les axes du Jacobien critique, dont on suppose en outre le volume donné.

3° La figure infiniment voisine d’un Jacobien critique défini par la fonction R, de la coordonnée elliptique e s'obtient en portant sur la normale au Jacobien, en chaque point défini par les deux autres coordonnées elliptiques w et v, une longueur €, dont la valeur, en première approximation, est

M, et N, étant les fonctions de Lamé associées à R,, et e une constante arbitraire très petite, dont on néglige le carré. |

4° Le premier Jacobien critique donnant naissance à une série de figures d'équilibre non ellipsoïdales correspond à la valeur » — 3 du paramètre de l'équation de Lamé; la surface d'équilibre infiniment voisine coupe le Jacobien suivant la petite ellipse principale, et suivant deux lignes de courbure de cet ellipsoïde. C’est cette surface qu’on a appelée depuis prriforme.

»° Les surfaces ont rigoureusement, c'est-à-dire même si l’on cesse de s'en tenir à la première approximation, trois plans de symétrie si » est pair : ce sont les trois plans principaux du Jacobien. Si » est impair, il n’y a que deux plans de symétrie, les deux plans principaux passant par le grand axe. L'axe de rotation n’est donc pas alors un axe de symétrie.

Ajoutons que l'expression

a recu de Poincaré le nom de coefficient de stabilité d'ordre n.

La fin du Mémoire des Acta est consacrée à l'exposition de la remarquable théorie de l'échange des stabilités; l’auteur croit pouvoir en déduire que la figure piriforme est stable.

En 1900, Poincaré prit pour sujet de son cours de Physique mathématique à la Faculté des Sciences les fluides en rotation; ses leçons ont été rédigées par M. L, Dreyfus et publiées en Volume sous le titre : Figures d'équilibre d’une

masse fluide (*). Les Chapitres VI et VII de cet Ouvrage se rapportent au sujet qui nous occupe : ils présentent un bon résumé des points essentiels du Mémoire des Acta et sont d’une lecture plus facile. |

A la suite d’une remarque de Schwarzschild (?), faisant observer que le principe de l’échange des stabilités ne pouvait pas être appliqué sans modification au cas de la figure piriforme, Poincaré reprit la question de la stabilité dans un important Mémoire (*) publié dans les Philosophical Transactions, de Londres. Par une méthode remarquable, basée sur l'expression de l'énergie d’une double couche, il va jusqu'à la deuxième approximation pour la forme de la surface et en déduit la condition nécessaire et suffisante pour que la stabilité ait lieu. Il s’agit de reconnaître quel est le signe d’une quantité se composant d’un nombre infini de termes, tous positifs, sauf deux. Si elle est : négative, il y aura instabilité, et il suffira pour le constater de calculer un

nombre fini de termes; s’il y a stabilité, il faudra calculer la somme des termes

positifs ou une limite supérieure de cette somme. Poincaré n’aborde pas ce calcul, mais il en indique tous les éléments.

Les travaux de Darwin et de M. Bénès.

Les divers Mémoires de G.-H. Darwin sur la question, tous réunis au Tome IT de ses Scientific Papers (*), ne sont, comme il le dit lui-même dans la Préface de ce Volume, que des traductions numériques des résultats théoriques de Poincaré. L'emploi de notations inaccoutumées, et d’une méthode assez différente, au moins pour la forme, de celle de Poincaré, rend la lecture de ces travaux un peu déconcertante. Un excellent sommaire, joint à chacun

de ces Mémoires, facilite heureusement beaucoup la compréhension du texte.

Darwin a abordé la question en 1887, par un travail sur les ellipsoïdes de Jacobi (°), qui, quoique en dehors du problème dont nous parlons, est d’une lecture utile pour connaître la méthode de calcul que l’auteur reprendra plus tard dans le cas du Jacobien critique.

Les trois Mémoires les plus importants sont de 1901-1902 et ont été écrits sur l'invitation de Poincaré, dans le but d'étudier la stabilité de la surface

(!) Paris, G. Naud (Gauthier-Villars), 1902.

(?) Die Poincaresche Theorie des Gleichgewichts (Annalen der K. Sternwarte, München, Bd III, 1898).

(?) Sur la stabilité de l'équilibre des figures pyriformes affectées par une masse fluide en rotation (Phil. Trans. of the Royal Soc. of London, vol. 198, 1901).

(*) Scientific Papers, by Sir George Howard Darwin. Cambridge University Press, 1910.

(*) On Jacobts figure of equilibrium for a rotating mass of liquid (Proc. Roy. Soc., t, XLI, 1887; Sc. Pap., t. III, n° 8),

piriforme. Le premier (!) expose la façon dont l’auteur considère les fonctions de Lamé, sujet sur lequel nous reviendrons. Dans le second (2), Darwin applique sa méthode au calcul des axes du Jacobien critique correspondant à la figure piriforme, et donne pour la première fois les dimensions exactes, avec des figures, de cette surface en première approximation. Enfin le troisième Mémoire (*) aborde la question de la stabilité. Se reconnaissant trop peu au courant des fonctions de Weiïerstrass pour pouvoir suivre la‘méthode indiquée par Poincaré dans les Philosophical Transactions, Darwin reprend avec ses notations la marche suivie par Poincaré et déduit de son calcul que la figure piriforme est stable : du moins il lui paraît impossible que le résidu non calculé de la série puisse changer le résultat. A la suite des travaux de M. Liapounov concluant à l'instabilité de la figure, Darwin a refait tous ses calculs et a indiqué (*) en 1908 qu’il tenait toujours son résultat pour exact.

Il ÿ avait donc là une question en litige. M. Ladislav Bénès a essayé de la résoudre, sans toutefois y parvenir d’une façon définitive (°). Il a effectué tous .les calculs du Mémoire de Poincaré, partant exactement des formules de l’auteur : mais il n’est pas arrivé à la solution complète pour laquelle il aurait fallu pousser les calculs beaucoup plus loin. Néanmoins, d’après l'allure des premiers résultats, il semble possible d'affirmer que la figure piriforme est instable et de considérer ainsi la question comme tranchée.

Travaux divers.

Au groupe de Poincaré se rattache le Mémoire déjà cité de Schwarzschild qui d’ailleurs, sauf le point que nous avons signalé et une intéressante discussion des propriétés des coefficients de stabilité, n'apporte rien de très nouveau sur les figures dont nous parlons, et s'étend plutôt sur les problèmes d’Edouard

Hoche: ; :

Le travail de M. Globa-Mikhaïlenko (}, quoique en dehors de la question,

(:) Ællipsoidal harmonic analysis (Phil. Trans. of R. S., vol. 197, 1901; Sc.Pap?, t. LL, n°10). Ne | (2) On the pear-shaped figure of equilibrium for a rotating mass of liquid (Phil. Trans. vol. 198, r901; Sc. Pap., t. I, n° 11). (2) The stability of the pear-shaped figure of equilibrium, etc. (Phil, Trans., vol. 200, 1002; Sc. Pap., t. IE, n° 12).

(*) Further consideration of the stability, etc. (Phil. Trans., vol. 208, 1908; Sc.: Papstonil;n%42) # (5) Ueber das Vorzeichen des Poincareschen Ausdruckes für die Stabilität des bir-

nenformigen Figur ciner rotierenden Flüssigkeitmasse (Astron. Nachr.; t. 186,

n° 4459, 1910). | (5) Sur quelques nouvelles figures d'équilibre d’une masse fluide en rotation (Thèse

de doctorat, Paris, 1916).

y est intimement lié par l'emploi qu'y fait l’auteur de la méthode de Poincaré. Son objet est la recherche des figures d'équilibre infiniment voisines d'un ‘cylindre elliptique ; lés résultats obtenus avaient déjà été établis, en suivant une autre voie, par M. J.-H. Jeans (*).

Les travaux de M. Liapounov. re

M. Liapounov a publié sur la question un grand nombre de Mémoires qui, malgré leur intérêt, sont encore peu connus en France. On nous excusera donc de nous y arrêter quelque peu.

Ainsi que M. Liapounov le dit lui-même, c’est vers 1883 que, sur l'invitation de Tchebychev, il a commencé à étudier les figures ellipsoïdales d'équilibre d’un fluide en rotation. La question suivante avait été proposée par Tchebychev à divers savants russes : « Étant donné qu’on peut passer, pour certaines valeurs de la vitesse angulaire, de la série des figures d'équilibre représentées par les ellipsoïdes de Maclaurin à la série représentée par les ellipsoïdes de Jacobi, existe-t-il d’autres séries de figures d'équilibre auxquelles on pourrait passer à partir des figures ellipsoïdales ? »

Les études que M. Liapounov entreprit sur la question le conduisirent à publier, en 1884, un important Mémoire, constituant ce que nous nommerions la thèse de l’auteur, et que les universités russes appellent dissertation. I ne semble pas que ce travail, intitulé : Sur la stabilité des figures ellipsoïdales d'un liquide animé d'un mouvement de rotation, et écrit en langue russe, ait été connu hors de Russie, autrement que par une courte Notice de Radau dans le Bulletin astronomique, jusqu’à ce que M. Davaux en ait donné une traduction française (?), parue en 1904, avec des notes et quelques corrections de l’auteur. Ni Poincaré n1 Darwin n’en ont eu connaissance; et ce travail contient cependant quelques-unes des propositions du Mémoire des Acta, quelquefois même traitées d’une façon plus complète (*). A Ja fin de l'Ouvrage l’auteur, suivant l’usage russe, énonce quelques résultats sans démonstration. Or Pun de ces résultats est formulé de la façon suivante :

(1) Philos. Trans. of the Roy. Soac., 1903. Voir également, de ce même auteur, The motion of tidally distorted masses (Memoirs of the Roy. Astr. Soc., vol, LXI, part Ï, 1917). |

(?) Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, mars 1904.

(*) Ainsi, dans le Mémoire des Acta, Poincaré a démontré que les équations

R;S, re R;, So 4 R,3 S0,3 ARR OT SE NN Te

avaient une solution, mais non qu’eNes n’en avaient qu'une seule : la démonstration de ce dernier point est donnée dans le travail de M. Liapounov,

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. Fr,

€ Etant donné un entier n quelconque, Surpassant 2, on peut trouver nt RE è $ de A ; :

E — + 2 surfaces algébriques infiniment voisines de celles des figures ellipsoï-

7 “1: pige ' ‘ AE À : 7e dales d'équilibre, et vérifiant, à une première approximation, la condition 1 pe . \ 13° + . .

d'équilibre. Parmi les figures délimitées par ces surfaces, une est infiniment

DE £ : w ; n PER ae voisine d’un ellipsoïde de Jacobi, et les E — + r autres sont infiniment voisines

des ellipsoïdes de Maclaurin. »

M. Liapounov a donc connu dès cette époque l'existence des figures infiniment voisines des ellipsoïdes d'équilibre : mais il n’a pas cherché à tirer parti du résultat qu’il avait entrevu, et a même complètement abandonné le pro: blème après avoir donné ce simple énoncé. Vingt.ans plus tard, à la suite des travaux de Poincaré, il a repris la question, en cherchant à la résoudre sans s’arrêter à la première ou. à la deuxième approximation; les résultats qu’il a obtenus sont exposés dans un grand travail, composé de quatre Parties publiées à des dates différentes, et que nous analyserons plus loin. Mais auparavant, l’auteur a publié un sommaire de ses recherches (‘), qui est d'une importance capitale, en ce qu'il expose la méthode suivie et les notations employées, indique les principaux résultats et permet d'aborder avec plus de facilité la lecture un peu ardue du grand Mémoire. La méthode de M. L'iapounov se présente de la façon suivante :

L'’axe des z étant l’axe de rotation, l'équation du problème s’écrit U + Q(x?+ y?) = const.,

U et Q étant, à des facteurs constants près, le potentiel et le carré de la vitesse angulaire.

L’ellipsoïde à partir duquel on veut chercher de nouvelles figures d'équilibre a pour équalion

e SAR J” HET N

PH 89 Ê ou

æ—=Vÿo+1sin6cosy,

y =Vo + gsinbsind,

z = Ve cos,

où l’on suppose g<r, le cas g = 1 correspondant aux ellipsoïdes de Maclaurin.

(:) Sur un problème de Tchebycher (Mémotres de l’Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, vol. XVII, n° 3, 1905). À partir de ce moment, tous les travaux de l'auteur sur la question sont écrits en francais.

Les coordonnées de la figure infiniment voisine sont mises sous la forme

x =Yo+C+i sin8 cos, y=Ve+C+gqsinbsind,

3 = Vo + cosf.

M. Liapounov développe alors la fonction inconnue € en série procédant sui-

vant les puissances entières de n ou de Vn, n étant la différence entre les valeurs de Q, correspondant à l’ellipsoïde et à la figure infiniment voisine. Il annonce avoir prouvé la convergence de ces séries et avoir obtenu, relativement à la question de la stabilité de la figure piriforme, un résultat en contradiction avec celui de Darwin. Les hypothèses faites sur la fonction € sont au nombre de deux :!

a. (reste inférieur à un nombre fixe suffisamment petit, Ô: b. Si l'est la valeur de € au point 0’, L’, et si l’on pose # cosÜ cosÿ/+sin8 sinB'cos(d/— 4) = cosv, |

la valeur absolue du rapport

reste inférieure à un nombre he suffisamment petit où, Voici à présent, brièvement analysé, le contenu du Mémoire. fondamental (?):

La première Partie, portant le sous-titre : Étude géné an du problème, n’est que le développement des principes dont le Pope de Tehebycher est le résumé, avec cependant de notables améliorations. L’auteur y expose en particulier la théorie des fonctions de Lamé. Nous ne nous occuperons pas de la deuxième Partie (Figures dérivées des ellipsoides de Maclaurin), puisque complètement en dehors de notre sujet. Disons seulement que le problème y est résolu dans toute sa généralité, y compris la question de la stabilité pour toute figure de ce type, quel que soit son ordre. La troisième Partie (Figures dérivées des ellipsoides de Jacobi) est d’un

(1) Sur les figures d'équilibre peu différentes des ellipsoïdes d'une masse liquide homogène douée d’un mouvement de rotation (Saint-Pétersbourg, imprimerie de l’Académie impériale des Sciences) : 1'° Partie, 1906; 2° Partie, 1909; 3° Partie, 1912; 4° Partie,

SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. (e]

grand intérêt, bien que l’auteur s'excuse de n’y pas apporter de conclusions générales. Elle débute par une étude des équations qui définissent les ellipsoïdes de bifurcation, avec une méthode de résolution numérique de ces équaüons, sur laquelle nous insisterons particulièrement dans le cours de ce travail. L'existence et la stabilité des figures sont ensuite discutées, mais la complicaton des formules est telle que l’auteur a dû se borner à l'examen des cas particuliers les plus simples, les figures définies par 7 — 3 et » — 4, ainsi què les surfaces très allongées à trois plans de symétrie, pour lesquelles les fonctions de Lamé peuvent être remplacées par des fonctions de Bessel. Les calculs de M. Liapounov, comme nous l'avons déjà dit, concluent à l'instabilité de la ligure piriforme, mais à la stabilité de l’une des deux figures correspondant A et

Dans la quatrième Partie (Nouvelles formules pour la recherche des figures d'équilibre), l'auteur reprend sa théorie dès le début, en adoptant pour les coordonnées de la surface la forme

x=Vi+Zye +: sin cos, YENVITEZ Ve + gsinû sind, 3 =V1+2 cost,

ce qui lui permet de parfaire certains résultats de la deuxième Partie.

En même temps qu'il publiait cet Ouvrage, M. Liapounov donnait divers travaux connexes : en 1908, un Mémoire (') dans lequel il reprend, avec de nouvelles méthodes, quelques points de sa thèse, et obtient des résultats déjà donnés par Poincaré dans les Philosophical Transactions; en 1909, une Note (?) où, revenant aux hypothèses que nous avons indiquées ci-dessus, il démontre qu’il n'existe pas de figures d'équilibre vérifiant l'hypothèse 4, mais non l'hypothèse b, et que pàr conséquent les conclusions de ses premiers travaux sont valables sans aucune réserve.

Enfin une Note (*), parue en 1916 et où les équations de la surface sont présentées sous diverses formes, contenant toujours une série, prouve que M. Liapounov n’a pas cessé de s'intéresser à la question.

On voit par cet exposé l’importance des travaux du géomètre russe sur le sujet; toute étude nouvelle sur les figures d’équihibre des fluides ne peut que

(1) Problème de minimum dans une question de stabilité des figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation (Mémoires de l’Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersboure, vol. XXII, n° 5, 1908). ;

(2) Sur une classe de figures d'équilibre d'un liquide en rotation (Annales de l'Ecole Normale supérieure, 3° série, t. XX VI, 1909).

(3) Sur les équations qui appartiennent aux surfaces des figures d'équilibre dérivées des ellipsoides d’un liquide homogène en rotation (Bulletin de l’Académie impériale des Sciences de Petrograd, 1916), |

10 PIERRE HÜUMBERT.

s'inspirer de ses méthodes; malheureusement, beaucoup de questions intéressantes ont été laissées de côté par lui, et la plupart de ses formules semblent susceptibles de grandes Simplifeations.

Notations. Fonctions de Lamé.

L'usage de notations très différentes rend difficiles la lecture de ces divers travaux et la comparaison de ces résultats. Nous allons indiquer très brièvement les principales notations des différents auteurs, puis celles que nous comptons employer dans la suite de ce Mémoire, en insistant particulièrement sur la question, capitale dans la théorie qui nous occupe, des fonctions de Lamé :

° Poincaré rapporte les coordonnées elliptiques p, 4, y à un ellipsoïde de référence dont les axes sont o, b et c; le Jacobien critique est défini par le paramètre 9; la surface infiniment voisine, par l'épaisseur €, positive ou négative, de la couche distribuée sur la surface du Jacobien critique. La fonction de Laplace est mise sous la forme d’un produit de Lamé, R(b) M(u) N(v); à côté de R on considère la fonction de Lamé de seconde espèce S. La fonction R(o) satisfait à l'équation différentielle

Pour distinguer entre elles les fonctions de Lamé des différents types, Poincaré a recours à trois indices; une fonction s’écrira RŸ, avec la sgntipates suivante des indices : » est le degré de R;

K a la valeur 1 si R est un polynome entier en bp,

» 2 She multiplié par Wo?— b?, M

» multiplié par Ve — ce » 4 » multiplié par ÿ9o?— b? Ve? — C2,

Enfin z est choisi de telle sorte que R, ; devienne, pour b = c, égal à un faces teur constant près à

en vertu de la relation qui lie les fonctions de Lamé aux fonctions sphériques générales.

Ce mode de définition des fonctions de Lamé par trois indices ( est théori-

(*) C’est aussi la notation employée par Schwarzschild.

quement parfait; pratiquement, il est un peu compliqué; et Poincaré l’abandonne aussitôt après l’avoir posé en principe ; il désigne simplement les fonctons de Lamé par R,, R,, .…, le choix des indices étant laissé au hasard. Il en résulte une grande complication; et un même symbole désigne parfois, dans les Acta, dans les Philosophical Transactions et dans les Figures d’équilibre, trois fonctions de Lamé différentes. À part cet inconvénient, les notatons de Poincaré sont dans leur ensemble remarquablement simples et claires; elles sont d’une symétrie parfaite (*) et conformes à l’usage général. On peut leur adresser le reproche d’être un peu compliquées pour le calcul.

2° M. Liapounov, comme nous l’avons vu, met l’équation du Jacobien criüque sous la forme æ? 2 2?

Lot = PH LOF 4

avec 4 << 1. Nous avons vu également de quelle façon il présente les équations de la surface de Poincaré. Les deux notations suivantes sont d’un usage courant dans tous ses Mémoires :

A(p)=Vr(e+1)(e +4) I ° do RE ef. a 2'J, PpA(e) La fonction de Lamé est désignée par le symbole E,,,(2); m en est l’ordre, et l'équation de Lamé s’écrit

d dE\ 2 sr (aT) —[8+ m(m+i)p]E= o.

s, qui est inférieur à 2m, est défini comme il suit; on pose p = x*: Si E(x) est de la forme Polynome en #, on aura

2M—S= 0 (mod 4);

Si E(x) est de la forme Vz? + q x Polyn., on aura | , 2M—S=I (mod 4);

Si E(x) est de la forme Vz* +1 x Polyn., on aura

2Mm—S—=2 (mod 4);

(:) Surtout dans le Mémoire des Philosophical Transactions, où les axes de l’ellipsoïde de référence sont désignés par à, b, € au lieu deo, het c.

Si E(x) est de la forme W(x?+ 1)(4? + g) x Polyn., on aura

2Mm—Ss—=3 (mod 4).

Lorsque "» est grand, il peut y avoir ambiguïté; mais on n’a guère alors à considérer qu’une ENS fonction de Lamé de chaque ordre. Les fonctions de seconde espèce s’écrivent F,,,(p). Les coefficients de stabi-.

lité, qui sont i }

E,0 F0 — om ni Er EF 559

GR

sont désignés par le symbole T,.. La fonction E,, qui y figure est de la forme

(en) (p + Re).

ou Ve+i(p+h)(o + ha)...

Les notations de M. Liapounov ontl’avantage de se prêter aux calculs numériques avec une grande souplesse; elles ont l'inconvénient de détruire complètement la symétrie et, ce qui est plus grave, l’homogénéité des formules.

3° La symétrie est également abandonnée de parti pris par Darwin, qui considère même la forme habituelle des produits de Lamé comme impropre au calcul. Le cas d’un ellipsoïde de révolution conduisant à une fonction de Laplace de la forme

Ps(u) P:(v) 2 0,