COS

les P étant les fonctions sphériques générales, de degré z et d'ordre s, Darwin cherche à mettre le produit de Laplace pour l’ellipsoïde à trois axes inégaux sous une forme ‘ Partant d’un ellipsoïide de référence dont il désigne

les axes par À VU. > k, 0, il introduit trois coordonnées y, k, © et considère

les fonctions De :

a. Des fonctions de u et v, désignées soit par l}, soit par P?, suivant que ce sont des polynomes en $, ou de tels polynomes multipliés par le radical

(ou le même radical en 4). Les coefficients de ces polynomes sont des fonctions sphériques ordinaires de 11 ou v. Aïnsi la fonction Ÿ,, qui définit la surface piri-

forme, s’écrira

1 9 Pa (5) + 3 ÉPIC).

b. Des fonctions de » désignées par €’ ou 5, si z et s sont de même parité, et exprimées par des polynomes en $ où le coefficient de BÂ est cos(s + 2k)0 ou sin(s + 2k)o. Siret s sont de parités différentes, on est conduit à des poly-

nomes analogues, mais multipliés par V1 — $ cos 29, et les fonctions résultantes sont désignées par C? ou S'.

Le fonction de Laplace sera le produit de deux fonctions semblables de 1 et y, et de l’une quelconque des fonctions de © : donc en tout huit solutions.

De plus, à côté des fonctions Ÿ etP s introduisent des fonctions de seconde espèce, @; et Q;, que l’on met sous la forme de séries infinies en B, dont les coefficients sont les fonctions sphériques de seconde espèce.

On a peine à reconnaître sous cette forme les fonctions de Lameé, et il est bien difficile de s’assimiler cette méthode, malgré les avantages qu’elle présente peut-être pour les calculs ultérieurs. Remarquons qu’elle conduit à l’introduction des intégrales elliptiques de Legendre.

Dans ses deux derniers Mémoires, Darwin change un peu ses notations initiales : 1l désigne les axes de l’ellipsoïde de référence par cosy, 1—k*sinyet 1,

5 I 3 à et les coordonnées & et y par Rand et sin0. Avec ces notations, on a

— 92 sin?

I Et

sin?

q étant une fonction de k, d’ailleurs très compliquée. Ajoutons que les coefficients de stabilité sont désignés par À; ou K;. Enfin Dana dans ses calculs numériques, fait toujours le volume des Jaco-

biens égal à Fe LA Les axes A, B, C d’un Jacobien sont alors donnes, en fonction

des éléments o et 4 de M. Liapounov, par les formules

VACRTE PTE PARA RS Die RE ANR fra BR EAR VR+Ut+) \Vo(e +1) Ve(e +)

4° Nous emploierons, dans ce Mémoire, les notations de Poincaré, en les modifiant légèrement.

a. L'’axe de rotation sera pris pour axe des x. : Les axes de l’ ellipsoïde de référence seront &, b, 0. Le Jacobien critique sera défini par le paramètre p; ses axes seront ÿ \ ‘

désignés par A, B, C, avec A c B< C, et ABC = 1. On aura donc

ro = CG: 2 bi—B, Ve a?— A.

ù d. Nous désignerons les fonctions de Lamé, solutions de l’équation (Bar) by (aptat)ey ler + Det BLE

\ | par le symbole R,., » étant l’ordre et s défini comme il suit : Si R est un polynome en », s—= 0 (mod4);

si R est un polynome multiplié par ÿp° — b?, s—=1 (mod); À si R est un polynome multiplié par ÿ/o*— a?,

*s=2 (mod);

si R est un polynome multiplié par ÿ(o? — a?)(o°?— b?), s = 3 (mod),

avec s<{2n. Il pourra y avoir ambiguïté dans certains cas : nous affecterons

alors la plus petite valeur de s au polynome ayant les plus petites racines.

Les fonctions de Lamé que nous aurons à considérer seront toutes du type R Nous les écrirons, si 2 est pair,

OEN C ee

n,Aai*

et si » estimpair

CCE) (or ae) ets HAE

les &« étant tous inférieurs à b?.

La concordance entre les «; et les L; de M. Liapounov est

Fe — LA a?

Ajoutons que nous traiterons certaines questions avec les notations de M. Liapounov, sans les modifier.

Afin d'illustrer ce que nous venons de dire sur les fonctions de Lamé, nous donnons un Tableau indiquant les diverses notations pour les fonctions des ordres 0, 1, 2 et pour les plus importantes des ordres 3 et 4. La première

colonne donne la valeur de ces fonctions; les trois suivantes, les symboles employés par Poincaré dans les Acta, les Figures d'équilibre et les Philosophical Transactions; enfin les trois dernières indiquent les notations de Darwin, de M. Liapounov, et celles dont il sera fait usage dans ce travail.

Présent

Valeur des fonctions. Acta. Fig.équil. Ph. Tr. Darwin. Liapounov. travail. EE ENT SR PER AO RCA MEET LES 2, \ R, IR To Es,o Rio dE An Re PEER RO R R3 P, E,0 Ri,2 Wo° (0 een D AS LA AR ER Ar R, : 1e IR 1 (OS ERA Ne AOMORNONGE PATES MR AU PEU PE R; D, E, 3 R; 0 Fe Rt ÿ 22 De en SP A Po ue ve ne + de ca PL f de Ris , R; R; Ÿ E.0 Ro VCp?— b?)(p? a?) CC R PS EX Fo; p Ve? = b? pes aciers olrieterele olleiloite le elite R, R, pi Er R, 1 p VEE ne EC nee MRC R à 1% E, » Ro À 0 VCp2= b?)(p2 a)... NOM R, P: R3,3 ppt me), or BJ ne RO Rs FR; », Re (p?— a )(pt— cu), (on, << D). Ro P | Rio