LES BIFURCATIONS DES ELLIPSOIDES DE JACOBI

La première question qui se pose au sujet des surfaces de Poincaré est la détermination des éléments de ces surfaces, c’est-à-dire des axes du Jacobien critique correspondant, ou des quantités p, a, b, ainsi que des «. Nous ayons vu qu'entre ces inconnues p, &, b existaient les deux équations de Poincaré

R,> S 1,2 R> So, 1 DORA ER =

«) ès = es R;,2 9,0 #0 R,0 92,0 (2) 3 PS AS ENE

avec, comme troisième condition, la valeur donnée du volume. Darwin a résolu ces équations pour 7 — 3; M. Liapounov a donné une méthode générale pour

leur résolution et l’a appliquée à la surface de Poincaré d'ordre 4. C’est cette méthode que nous nous proposons de reprendre, de compléter et de simplifier. Traduite avec nos notations, voici de quelle façon elle se présente :

On commence par s'affranchir de la condition de volume, en fixant @, par pie en faisant a —1; on reviendra ensuite par une ue HHObeTUE aux

axes du Jacobien ayant le volume “

b. A toute valeur approchée », de » correspond une valeur approchée b, de b qu’on peut calculer au moyen del équation (1). On cherche alors, par des essais successifs, quel doit être », pour que l’ équation (2) soit atebité par Po et D. Si deux DAC Pa Et Po donnent à l’expression

Rio Se Rr,09n,0 ; 27 HI

RS Co SE t

en

des signes différents, la vraie valeur © sera comprise entre p, et p., etbentre b, et D. L'application de la méthode comporte donc trois stades :

1° La recherche d’une solution approchée pour +. Sur ce point, que nous étudierons tout à l'heure, M. Liapounov n’a donné aucun renseignement.

2° Le calcul de b par l'équation (1), p étant donné. Ici la méthode de M. Liapounov est remarquablement pratique : nous ne la modifierons pas et n’en parlerons même pas dans ce Chapitre; nous l’exposerons plus tard, en l’appliquant à la recherche des éléments de la surface de Poincaré d'ordre 5.

3° Le calcul de Lo (3). Observons que la deuxième partie du calcul

a déjà donné la valeur de + 7 R, SO UN OMIS RIT donc de calculer —— oo

La formule de réduction ‘a donnée M. Liapounov est d’une grande complication et conduit à des calculs très ardus. Nous allons donner une formule de réduction beaucoup plus simple, et nous la traduirons ensuite avec les notations

de M. Liapounov.

Recherche d’une solution approchée.

À mesure qu’on avance dans la série des valeurs de », le Jacobien tend de . plus en plus à s'approcher de la forme de révolution; si l’on consulte le Tableau, dressé par Darwin, donnant les axes de divers Jacobiens, on constate qu’à partir de C=3, pa axes À et B sont égaux à 0,1 près. On obtiendra donc des résultats approches satisfaisants en ea AetB, ou aet D égaux, c’est-à-dire en assimilant le Jacobien à un ellipsoide de révolution (: ). Cela revient, avec les notations de M. Liapounov, à faire 9 — 0.

[ \ (1) Cette méthode d’approximation a été prhposée par Darwin, mais il n’en dit qu'un

mot et ne la développe pas.

Des deux équations de Poincaré il ne subsiste que la seconde; voyons ce 1 Q . » . . ue qu'elle devient. A la fonction de Lamé R,, se substitue la fonction adjointe de

EN 0 4 LS ra 6 Legendre, Pi — ÿr?— 1; à la fonction de seconde espèce ne se substitue la

fonction adjointe de deuxième espèce

JS 1 r + = ÿrè— 1 log RE

1 D Ê Vr?—i 2 FF —1

La première partie de l’expression devient donc

Tr+I

A AVE NE VAS A 1) Ne verge

Quant à la deuxième-partie, comme les fonctions R,, ne contiennent pas de radical, elles se transforment en polynomes de Legendre d'ordre n, et les fonc-

. } Ce S Je . x uons TE So deviennent les fonctions de Legendre de seconde espèce, Q,. L’équation de Poincaré deviendra donc

Tr HI F— 1]