PAG OUT
—r+ = (r?—1) log
Si l’on applique ce procédé au cas r — 3, cas très défavorable puisque c’est le premier, on trouve comme valeurs approchées des axes
GC 1550; Ale Re 05m les vraies valeurs étant
Gr 68: AVE 0; 091: B=o,81
la moyenne de ces deux derniers nombres étant 0,73. Dans le cas x — 4, nous trouvons comme valeurs approchées
alors que les vraies valeurs sont
la moyenne de ces deux derniers nombres étant 0,655. On sera donc certain, à partir de # —5, de trouver des nombres dont la première décimale sera
sûrement exacte.
Cas où » est très grand.
: Lorsque 7 est très grand, le calcul devient très compliqué, par suite de la forme de moins en moins simple que prennent P, et Q,. Comme il ne s’agit toujours que de rechercher une solution approchée, on simplifiera beaucoup [ex calcul en remplaçant P, et Q, par des expressions approchées pour grand.
On connaît la valeur approchée de P,, lorsque » est très grand, donnée par
Laplace, à
) ( 2 D I n T Pi(cht) = PAT AN ra mt se
4 dl À de Qu PA) JR
Par la formule
on arrive également à la valeur approximative
I ant / ï (e CE 1 et ar ve ; Qu) = 4 / sin | (n + 2) |
Nous aurons donc
; JE cos(2n +1) P;(z) Qx(s) RE Una (on +1)sh0?
Ô étant défini par chô—Z.
On pourra encore écrire I cos(2n +1)
> PA 5 FA == — Pa(s)Qn(3) RAR EEE et l'équation approchée deviendra
cos(27n +1)l 2n +1
= Vrè—: |- r + = (r? — 1) log” si à
NT avec $ ch4 = r.
La résolution de cette équation ne sera plus bien compliquée; on se servira utlement des Tables de fonctions hyperboliques publiées par l’Institut Smithsonien de Washington.
Expression de la fonction de Legendre de seconde espèce.
Revenons au cas ordinaire. L’équation que nous avons à résoudre pour . . r . n ft. « .
obtenir une solution approchée contient la fonction de seconde espèce Q,, qui,
sous forme d’intégrale, s’écrit ;
AM EL | ÿ dE MERE for
et peut être mise sous la forme
3 + I 3 Ÿ Palo Re, 4 A), |
12, 2er AA |
où /,—, est un polynome de degré » —1. Diverses expressions de ce polynome ont été données; la plupart contiennent les polynomes de Legendre de degrés inférieurs à ». Ainsi, la formule de Christoffel est
Je (z) Re Pony -uS Piste) an 3(n 1) P;:3(2) ne Se 5
celle de Schäfli et Hermite est
dt
; fants)= D 3 Puité)Peu(s).
Toutes ces expressions sont compliquées, et la formation par ce moyen du polynome /,,, donc de Q,, est longue et fastidieuse. Nous allons démontrer que /,-, est susceptible d’une forme beaucoup plus simple, et pour cela introduire le polynome B,(:), de degré inférieur à #, dépendant de P, par l’identité
(1) An(z}Pi(s) + B(2)P,(z)=1,
À, étant un polynome de degré inférieur à 7 — 1. Nous commencerons par démontrer la propriété suivante :
Entre deux polynomes B correspondant à deux polynomes de Legendre de degrés consécutifs existe la relation de récurrence
(2) Pri(s)Ba(z) — Pa(s)Bri(s) +
Le premier membre est un polynome en 3 de degré 27 — 2 : nous allons démontrer qu’il s’annule pour 27 — 1 valeurs de z, à savoir les » racines «,, Gr...) ns dé P,(z) et les » —1 racines GEO Gauridé Pre). On Aen effet, d’après (1),
