LE LT
Intégrons par parties le terme contenant P°; nous obtenons
: QC BAUz) Ju Ah + B;, 2tB, dt (3) y Pa(s) (22—x1)P,(2) po ë | P; nn RE
De l'identité (1) nous dérivons
(4) A} Pl} ar A P ae Bx PS Sn B, Pa sp °7 d’où | À} Ta B° dr: À B, # À Pr pe be re P, Ce |
Soient &,, A5 ee) An les racines de P,, et b,, b,, ..., b,:, celles de: P’. On sait que les racines dde ces deux polynomes sont toutes simples. Nous écrirons, par décomposition en éléments simples,
RAA ED
f P, ed P,(bi) 5 — bi DEN | ê PAP ue B} (ai )P, (ai) BC) Ï PAP, — eu (P,(a)F ts 0) + 2 Pa( Se
donc, les sommes portant sur les b se détruisant en vertu de (4), A AD) D B,(a)P{{a&) à 1 [Pal sa i=4
Or nous tirons de l'équation différentielle de Legendre la relation suivante :
Pair) 2 4j PCA M Part
donc
Considérons alors la fraction rationnelle
»zB,(z) (z2—1)Ph(3)
et décomposons-la en élèments simples; nous obtenons, en tenant compte des résultats que nous avons établis sur B,(1) et B,(— 1),
22 Br 24; Ba (ai) vi # AN EE (13 TE D di) 3 — &i ZI PAT
Le premier membre est justement l’expression entre crochets dans l’intégrale figurant dans la formule (3), et par conséquent nous obtenons en inté- . grant,
ou
En utilisant la formule! de récurrence e que nous avons établie pour la fonction De nous trouvons la formule de récurrence pour f : :
fn) Pn(5) — fn 22) Pat) =
Au moyen de cette formule, il sera possible de donner à f,, la forme suivante :
I 0 (EDEN e HIT O O I I nl Ep P, OUI DO 0 0 = >.
e l 0 2 Por PE Loto o 0 = He oe— ° fra P,P P;4 ? n- k 0 0 CAO 0 Pr De ni \ RO) O O 0tTO ne) EI D va n
le déterminant contenant » lignes. En le simplifiant à l’aide de la formule de récurrence liant trois polynomesde Legendre consécutifs, nous obtiendrons f,.,
sous la forme très simple d'un déterminant à (» —1) lignes :
SR AU NS) 0 o 0 re)
DM SONT O 0
o 3 523 0 0 fit) n iNWZ)= — | 0 O À 02 >
n! A ) J O o) © (e) DRAC TES 0 QNRIOLT LT OT ATONTES ... (2n —1)z
Signalons également les formules suivantes, aisées à établir, donnant les polynomes À, et B,, sous forme de déterminants, le premier à (7 — 2) lignes, le second à (7 — 1) lignes (*) :
\ (neû R LAN D O Due 7 O0 A,(z) £ 5 4 RASDESS SES Z 0 ) (Rail 9 4 30 0 Gi arevS 281 112 010 | PO SO 6 [l Bi(5)= > 0 dE RS I EENL O0 0 0 ANA US
Le calcul des éléments approchés des Jacobiens critiques sera beaucoup sim- PP q P plifié par emploi de ces formules.
Réduction de la fonction de Lamé de seconde espèce.
Nous avons vu que, pour le calcul des éléments exacts, il faut calculer, entre autres termes, l’expression .
on +1 n,0 n,0
et par conséquent la fonction de Lamé de seconde espèce, d'ordre n, liéeà R,
(:) La seconde de ces expressions nous a été communiquée par M. Whittaker, professeur à l'Université d'Edimbourg/ à la suite d’un échange de vues sur la question.
par la formule ch dt
S=(on+ nr f RO Van 0)
Les fonctions R,,, que nous avons à considérer étant des polynomes en p, nous pouvons chercher à appliquer à la fonction S,,, le procédé de réduction qui nous a réussi pour la fonction de Legendre de seconde espèce.
D'une façon générale, considérons une fonction de Lamé du type Re 5» C'està-dire un polynome en s, et la fonction de seconde espèce correspondante. Nous les désignerons par R et S, supprimant momentanément les indices pour simplifier l'écriture. Soient «,, ,, «,, … les racines de R, o compris s’il ya lieu. Nous poserons
L’équation de Lamé s’écrivant alors MR WW/R' —En(n+i)e+ KIR=o,
nous avons la relation
D'lledre
la danable d'intégration étant /.
-Introduisons me polynomes A et B, de degrés respectivement inférieure aux degrés de R'et R, et définis par l’ identité
Coue AR BR.
SU ne CAC, MBRIN Det œn+toR ) \(R°R/W
ou, après une intégration par parties,
EÉcrivons alors
SE TR dt{A+B BW!
Gn+DR RW MANCIR UE RN D
La décomposition en éléments simples, jointe aux propriétés exprimées par . l'identité obtenue en dérivant l'identité i 1), nous donne
ne A (æ;) R° B(xi) R°(oi) I se 0 — di
DIE RS (a) I Wa) Ra) (a) PER
Si nous décomposons en éléments simples l'expression
et, par conséquent,
>WW!B TER qui est une
fraction rationnelle, nous obténons
| re ka Ba) ii B EDS BD NN TUE R(a) p—a ds o+a De R(b)o—b R(—b) ei
DES WE Ne ere
B' ; - et, portant dans l'intégrale à calculer,
| À A Nous en tirons la valeur de - .
nous pouvons écrire
