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A x Fr | | | 07 MAL —— " Ù 4 .

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Ce intégrales ne Re pas être prises arbitrairement ; elles dépendent de la forme sous laquelle on nous donne les fonctions w,, ..., 4, \# Supposons que ces fonctions soient données sous la forme CE On peut considérer ces équations comme le résultat de l'élimination de Pisces Pr entre les équations

B= +, me = À. | Alors, on prendra (*) LES à Cu 5 NEA QE DE 66 y E

Pour achever le problème, on exprimera ®; et p; en fonction de

Li, +. Xn à l’aide des fonctions connues w,,..., u,,. On déduira

Bis Lismaslaide denormules (5) en fonconidet,; PAPAS

. et en remplaçant dans ®; et be la variable x, disparaitra et nous au- rons enfin ces dernières expressions en fonction de p,,..., 54.

VIT. Les intégrales des équations non linéaires jouissent encore des > propriétés remarquables, au point de vue de la transformation, d’un

(2) Cette détermination n’est pas la seule possible, car on peut mettre les équations (4) sous la forme A 0... en dns le TRE er PPS | EE ARE PRET DEN OS

mais les surfaces intégrales communes seront toujours les mêmes, car elles sont déterminées avec la congruence de courbes &,, ..., uns.

18 CG. POPOVICI.

système d'intégrales en un nouveau système. Ce dernier ne correspondra plus aux mêmes équations linéaires.

Voici ces propriétés :

1° Si le système de 2(n — 1) fonctions

PA DE ue DRE de Go NPD) PAU are NOT re Pre Ce

constitue un système d’intégrales des équations réciproques, les fonctions

A ie, Part 164 Fe ne \ UNÇCETES Si ce PL + oi ere" RENTE Si o Cie me PLn + Sn ); 1e Le

: a 7 ; , 4 BV En, P, (px, 2% Suis es PLn ne GR CS CRT TE Sy) OLn + Sn)

CE es ao Le étant des constantes, nous donneront un nouveau SVStème d’intégrales des équations réciproques.

Il suffitde regarder la forme des équations différentielles (3) ou (3) pour voir que les nouvelles fonctions sont aussi des intégrales si les premières le sont.

Nous exprimerons cette propriété en disant que les intégrales des équations réciproques admettent comme groupe de transformations l’homothétie et la translation. Nous avons ainsi déduit du système connu d’intégrales un nouveau système dépendant de x + 1 constantes arbitraires.

On voit bien que ces transformations forment un groupe par rapport à elles-mêmes; p transformations successives d'indices p!; £!,

Ep, 073 EP, ..., EP. sont équivalentes! à la transformation unique dont les indices sont

De Pi ANR RIT pEP-1 oP Pi o pb! 10. 5hn RGP OR. M0 RP

PH PPEP +... + pPOPt D!

2Srles Jonclionseu, (is. L ACLE. SONT syslème connu l’intégrales des équations non linéaires et les fonctions

K, (at mn) MES CRE 2%)

orales communes des équations linéaires correspon-

Nr É c | “al on pie ‘5 la ME

SRE PEN M #2 por K,)X, “e #. .…. 5) |

un nouveau système d'intégrales, quelles que soient les fonctions

rarburainres pi61;.... 08

Les nouselles fonctions K;(x,, ..., x,) seront aussi les intégrales

communes. |

Pour démontrer cette propriété générale, nous allons désigner par U(3) une opération U effectuée sur une fonction 3 dans laquelle on considère les fonctions k,, ..., k,, comme des constantes; c’est-à-dire la variation UÜ de 3, qui correspond à un déplacement suivant une sur-

face intégrale commune. Désignons par U; et V; ce que deviennent w; :

et ?; après la substitution.

Nous allons démontrer les relations OV;

a Gba

OV; 1 U(V;) =U,(c, a) A0 0 0e (RENE Re 3) ne En effet, DOVE UC EE Ex 2 2U(K,) En vertu de la première propriété, on a U(V;) = o. Il nous reste à démontrer que l’on a U(K,) = 0. Remarquons que, par hypothèse,

ok RER RE ÙU, — ax, Sn. 2e (Ê LOXE Se IX 10

Désignons par U(K) une telle opération. Nous aurons

LT OK 0%: Ur ie DDR — AE Jr 0X, TI, ..., (bte (1/,0"5IRS 7 Op dér X, = À x Fa 0%: :150p OËi D D ON

20 OC: POPOVICI.

Il résulte

donc