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Nous avons ainsi démontré que les nouvelles fonctions sont aussi des intégrales et que les intégrales communes s’obtiennent par la même substitution.

Nous dirons que les intégrales des équations réciproques admettent comme groupe de transformations une homothétte et une translation variable arbitrairement, quand on passe d’une surface intégrale commune à une autre.

Nous obtenons ainsi le moyen de déduire d’un système d’intégrales connues une infinité d’autres dépendant de n +1 fonctions arbitraires à n — 2 variables.

En répétant ces opérations, il parait possible d'obtenir des intégrales dépendant d’une infinité de fonctions arbitraires ; mais en réalité, comme nous allons le voir, il ne reste que z + 1 fonctions disüunctes.

Cela résulte de l'interprétation géométrique. En effet, répéter ces opérations revient à transformer plusieurs fois les caractéristiques par homothétie et translation ; après p opérations de cette nature, on peut revenir aux caractéristiques primitives par une homothétie et une translation résultantes; ces résultantes ne seront pas les mêmes que pour les caractéristiques qui se trouvaient sur la même surface intégrale commune. On aura ainsi des nouvelles solutions, et les intégrales communes se transforment en des nouvelles.

Les surfaces génératrices subissent des transformations plus complètes; ainsi une surface développable se transforme en une surface réglée si les droites étaient des caractéristiques.

Nous avons donc établi que non seulement les intégrales forment un

ne AR o et ie Mari de re

7 résultantes, dés ons pare X SATEN 2 APN Te ds successivement t sformés; par KE Fa . les cite

k;(X4, . nn X')et pan pl); CRE), 2, ie (K) les fonctions 1 Ka); Ex he De 0e, . ë LED

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e QT FR Îl est intéressant d'étudier ce qui arrive quand ces opérations se

répètent à linfini. Pour que le résultat final ait un sens, il faut que les expressions 93; £,,..., £, admettent une limite et, pour cela, il suffit PS que les expressions

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soient uniformément convergentes.