DEUXIÈME PARTIE

Applications des équations aux intégrales réciproques à la Mécanique.

I. Nous avons vu les propriétés dont jouissent les intégrales des équations réciproques au point de vue de la Géométrie et à celui de la théorie des groupes. Ces propriétés ont des interprétations mécaniques très intéressantes; elles nous permettent de traiter une question générale de la Dynamique. C’est le cas du mouvement produit par des forces fonctions de vitesses.

Ce cas prend même un intérêt particulier par ses rapports avec les

questions que nous venons d'étudier, et des théorèmes curieux en résultent.

Parmi ces résultats je citerai que, une loi de forces étant donnée,

| x no a A CES } Lns L), RE CP PRE TE + D ai, 7 JAITE XCE, Ur: l),

on peut toujours reconnaître s’il existe un mouvement produit par des forces fonctions ne dépendant que des vitesses, lequel admet avec le premier un faisceau de trajectoires communes. Dans tous ces cas on peut trouver les trajectoires, c’est-à-dire les intégrales communes, sans même connaître les équations du dernier mouvement; c’est là un fait très curieux, puisque même quand on connaît les forces en fonction de vitesses il faut intégrer » équations différentielles et ensuite faire 7 quadratures. Nous serons dispensés de toutes ces opérations, et, en outre, nous aurons la facilité d'intégrer le système (1) qui conuent évidemment une classe très générale des équations de la Dynamique.

Il. Considérons les équations caractéristiques du mouvement

dx; Cha dv, de, — = ÜU= =...

Pi 7 X; À Si nous désignons par V(z) l'opération + ; Ôz s 9z 0 DE … (2 oz, MO dt”

on à > dy Jo der À — HR de NC pe).

rl 0x, OL ot

et les équations du mouvement peuvent s’écrire

) Re Xi

= Si la loi du mouvement est fonction de vitesses, on aura

(3) Ve )= =L, CET, £ &: CA he A) Er L,(e, But |

ou en d’autres termes, Fr. que soient les expressions des vitesses, elles forment un groupe par rapport à l'opération V(3).

Nous avons vu dans la première Partie de cette étude que toutes les fois qu’un système de fonctions ?,, ..…., #, constitue un groupe par.

rapport à l'opération V(z), le système d'équations