CET LA CENT

admet un second système d’équations aux intégrales réciproques; c'est-à-dire qu'il existe un système de fonctions &,, ..…., u,, uniques et déterminées, telles que le système

Éd. ur dre

admet pour intégraies ?,, ..…., #,, et le système primitif admet pour IDR AIeS 7. 0, |

Il s'ensuit de ces faits que les expressions les plus générales des vitesses, résultant d'un mouvement produit par des forces foncions des vitesses, sont des solutions des équations aux intégrales réciproques.

En d’autres termes, les fonctions +,, ..…, , seront des intégrales des équations de dy dv, D, ES f nm (4) duy, duy Le dux ES LCR rrRRURET

Les fonctions &,, .…., u, seront aussi des vitesses qui correspondent à un mouvement défini par des équations de la forme

EE —— F ; = se or?

Ui Un M; M,

DE ES dry FE dv 00

M,,..., M, étant des fonctions des vitesses &,, ..., Un.

24 C. POPOVICI.

L’inverse du théorème énoncé plus haut est exact seulement pour les intégrales des équations réciproques de la forme simple (4).

Les intégrales des équations réciproques plus générales peuvent être considérées comme des forces fonctions des vitesses ou des trajectoires qui leur correspondent.

Les trajectoires seront données par les intégrales des équations

dx;

Tr — P, (msi L Up É) meer: (oi ie Li

Nous allons voir qu’elles se trouvent sans aucune quadrature. Pour plus de précision, proposons-nous le problème suivant :

Etant donne un système de fonctions PT ES UM) RE CEE - e M CUS

vitesses d’un mouvement quelconque.

1° Reconnaître st ces vitesses peuvent être considérées comme résultant d’un mouvement équivalent, où les forces sont des fonclions uniquement des vitesses ;

2° Trouver l’expression générale des trajectoires du mouvement ;

3° Trouver la lot de forces en fonction des vitesses du mouvement équivalent.

La première et la deuxième partie se résolvent d’un seul coup. Il faut vérifier que les expressions

2 Alto, x ACo x) (5) U, Au) ss a SCES), A6, €) A(w, t) où l’on a mis ' è IDR s00 A(e, &;) = Rs CU \ A one ec) par ee 3 in sont des intégrales de 1 équalion linéaire Z GX dz p, me + OP» + = NO)

équatic n no. + io vitesses satsont ä mi He notre problème, et

U, — &,, .…..s k =, dns

&;, .…., @, étant des constantes, définissent la congruence des trajectoires qui correspondent aux vitesses p,, …., Py. Pour résoudre la troisié ème partie, on eine les expressions

— D De (QE ...) ns 2

. SD CCR dd)

1 N D . : Fo et l'onremplacerx|, 66, en fonction del, ….,0,, 4; la variable … disparaîtra, et l’on aura

. X, (62 “..) Uno (= L ACT ab, Eh

ACL Lit) = Rte):

IT. Un problème qui contient le précédent et qui aussi ne peut pas se résoudre sans la connaissance des équations aux intégrales réciproques est le suivant :

Etant données les équations du mouvement

dx; de?

Nr... Li) (He ne

1° Reconnattre s’il existe un mouvement provenant des forces fonctions de vitesses seulement, qui admet avec le premier un faisceau de trajectoires communes, parcourues suivant la même lot;

2° Trouver les équations qui définissent ces trajectoires};

3° Trouver l’expression des forces en fonction des vitesses du mouvement équivalent.

Il s’agit de reconnaître si un système d'équations

dæx; dv; 7 PT: Ein nr = Xi(G ee) Um l)

26 G. POPOVICI.

admet » intégrales intermédiaires de la forme

dx den X;(x,, +.) Ln) D) Ga L,( ..… %)

Nous allons voir ce fait curieux que, si le système d'équations données admet » intégrales intermédiaires de la forme indiquée, ces intégrales ne contiennent aucune fonction arbitraire; c’est-à-dire les fonctions L,, ..., L, seront parfaitement déterminées pour des fonctions X,, ..., X, données.

Remarquons que, s’il existe un système d’intégrales particulières AL

PR CARE ES D) …..) Te = Pn(Lis ce Bons L)

A ne

: Ôz & Le 03 03 Ur “ant NO,

doit admettre comme intégrales les expressions

A(v,æx) EE NÉE:

@rrona V DDR ARTS | ACL, x3) = D Po) AGE œ%) et

ACL, Th) = ACÇX, Tk),

tout cela parce que le mouvement considéré dérive des forces L L, fonctions de vitesses.

Nous avons déjà les trajectoires avant de connaître méme la loi des forces; le faisceau de trajectoires cherché sera donné, dans le cas où le mouvement demandé existe, sans aucune quadrature par les équations