DÉMO
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| Ces: équations nous donnent les trajectoires et la loi du VEHESE ces trajectoires forment une congruence.
Une conséquence inté] ressante est que, si les expressions des Forèes MAMIE L'NANANS ÉARRLEEE t) sont algébriques, les équa- ‘tons des trajectoires le seront aussi.
Les fonctions w étant calculées, nous devons former maintenant les fonctions
= | e nt À A (a, Ty) ‘+ A(X, x ) Es (9) AUD FR
St les fonctions v,, ..., », sont les intégrales de l’équation U(z)=o, alors il existe un faisceau de trajectoires satisfaisant aux conditions demandées.
En d’autres termes, notre problème se réduit à la vérification de
n identités
AU ED AUXE.) PAC TN ATOS)
COR na ca do MRC Cl
Ces égalités sont faciles à vérifier puisqu'elles sont rationnelles, par rapport aux fonctions données X,,..., X,..
Nous avons vu comment on trouve les trajectoires du mouvement; pour avoir, maintenant, l’expression des forces fonctions de vilesses, HOUeprenrens dans ie MenctionseX (2 2e Lurl)reer Nabil), comme variables, p,, ..., »,, &. Après ce changement, la variable 4 disparaitra et nous obtiendrons les fonctions L,(p,,...,0,), ..., L,(6,, ..., #,); ces fonctions seront ainsi complètement déterminées
et nous aurons ce théorème :
Un système d'équations du second ordre (1) qui définissent le mouvement d’un point libre ne peut admettre un système d’intégrales intermédiaires de la forme
dx «rs X;(æ1; ss Üns t) = L (Te DE Te)
dépendant de fonctions ou de constantes arbitraires.
Qt
28 G. POPOVICI,
Au contraire, pour des fonctions L,(0,, ..., 9»), ..., LEE) données exprimant une loi de forces quelconque, il existe une infinité de fonctions X,(æ,, ..., @n, #); ..., X,(Æ, ..., &,, l) exprimant une loi de forces qui donne des trajectoires communes avec les premières.
Si l’on regarde les égalités (ro) comme des équations différentielles par rapport aux fonctions X,, ..., X,, on voit que les expressions des forces qui donnent une congruence de trajectoires communes avec des trajectoires résultant des forces fonctions de vitesses sont des intégrales des équations du troisième ordre (10).
Ce système d'équations admet un système d’intégrales intermédiaires
A(X, ær) .) B,(X:3 +. X3) = AX, €)
Bin) = porn
B,,..., B, étant des fonctions arbitraires.
Ces équations du second ordre, nous savons les intégrer; ce sont les équations aux intégrales réciproques suivantes : -
du ; du du B,(X,,...,X,) — +... + B,(X;, ..., Xn) = + € — 0, dæ, dir dt OX OX# OX4 OR NET NOUIE Ca
dont nous avons donné plus haut les méthodes d'intégration. Les fonctions B,, ..., B, seront les vitesses du mouvement.
in somme, nous nous trouvons en présence de deux mouvements U et V réciproques et tous deux produits par des forces fonctions de vitesses. Leurs trajectoires considerées dans l’espace x,, ...,æ,, 1 admettent une famille de surfaces communes. Les fonctions »,, ...,», ainsi que &,,..., u, jouissent de cette propriété, qu'on peut s’arranger par des liaisons dépendant d’un paramètre de telle façon qu'elles laissentinvariantes 7 formes différentielles qui sont les équations intrinsèques des trajectoires.
Ce fait se traduit en Mécanique par le suivant : qu'on peut s'ar-
d Nr SUR LES ÉQUA' IONS AUX INTÉGRALES RÉCIPROQUES. 29 ET " |
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| ranger par #2 — 1 conditions initiales pour que toutes les wajectines or 1: soient identiques. ; VOUS
IV. Je dois à M. Pai nlevé la remarque suivante : Il peut arriver , k que les expressions ju nous avons désignées dans un problème par | A(v,æy) A? A (X.æ%) ; | EU: PAR) ji l’autre problème ne soient pas loutes de. indépendantes. PL Le | À EX = Dans tous les cas, la méthode que nous avons donnée pour recon- di | SEE __ naitre si les vitesses © peuvent être considérées comme provenant des | | forces fonctions des vitesses, ou si les forces X admettent un faisceau 2 __ de trajectoires communes avec un pareil mouvement, est applicable ; mais, quand il s’agit de l'intégration, on en connait autant d'intégrales qu’il y a d’indépendantes parmi les expressions citées.
S'il y a j indépendantes, la recherche des trajectoires se à réduit à l'intégration d'un système de n — j équations. *
Malgré que l’on connait une transformation infinitésimale qui est
l'équation du mouvement réciproque, en remplaçant dans cette forme PRISE
linéaire les intégrales connues, on ne pourrait pas obtenir des intégrales ; P
nouvelles, mais encore des fonctions des intégrales connues. On peut
profiter d’une intégrale commune pour avoir un facteur intégrant.
Ainsi, par exemple, considérons l'équation
et supposons qu'on ait
c’est-à-dire w, = o(u,). Les », els, seront bien des vitesses provenant des forces fonctions des vitesses si l’équauon V(u,)= 0 est vérifiée ; mais on n’en connait qu'une intégrale. Pour trouver l’autre, nous
pouvons profiter de ce que nous avons établi que l'opérateur
doit être une transformation infinitésimale de notre équation. Alors substituons dans U la fonction w,; on peut faire trois hypothèses :
1° L'expression V(u,) = r(x, 7,3) est distincte de w,, et alors cette expression nous donnera la deuxième intégrale cherchée; mais ce cas ne peut pas arriver.
2° U(u,)= f(u,); dans ce cas, nous serons conduits à chercher une seconde intégrale de l'équation donnée, de préférence la surface intégrale commune des deux mouvements réciproques.
3° U(u,)—o; alors prenons #, y et u comme variables, les équaons V(f) et U(f) se transforment en deux équations à deux variables
of 0 DAME u) a + b(x, y, u) 0,
of of C(x,Y,u) EE + d(x, y, u), = 0;
et 1l résulte de la théorie des transformations infinitésimales que
ge Sera un facteur intégrant; la recherche de la deuxième inté- AOC £
grale se réduit alors à de simples quadratures.
Voici encore un cas qui a été donné par M. Painlevé. Supposons que uw, et u, se réduisent à des constantes, alors on peut bien voir que #, — const. et #, = const. représentent des droites parallèles et
qu’on a forcément
e, = V,(ax + by +i,cx + dy +0),
Po — No nie by —- té CL dy = D
Dans ce cas, la recherche des intégrales de Péquation V(f) — o se réduit à l’intégration d’une équation à deux variables
(ax + by +1, cx + dy + 0)
et une quadrature.
V. Nous allons prendre un exemple qui mettra en évidence toute cette symétrie de phénomènes.
Proposons-nous d'étudier le mouvement dont la loi de forces est
EL y HÉMREREEHe
Nous allons trouver un faisceau de trajectoires dépendant de deux paramètres appartenant à ces équations, ce qui nous aidera à les intégrer complètement. Demandons-nous si elles admettent des trajectoires de translation.
Formons les expressions
D(X; Y) , ŒUX, Y) Dr, 3) v D(z/»)
