TROISIÈME PARTIE

Surfaces intégrales communes à plusieurs équations différentielles.

Les intégrales communes à deux équations formant un système complet représentent toujours une famille de surfaces à deux dimensions, que nous appellerons surfaces intégrales communes.

On peut aborder l'étude de ces surfaces à deux points de vue :

1° Étudier la manière dont ces surfaces sont distribuées dans leur famille (qui dépend de 7 — 2 paramètres k,, ..., k,, dans le cas de n variables).

>° Étudier la manière dont sont distribuées sur chacune de ces surfaces les courbes que l’on obtient par leur intersection avec les deux surfaces intégrales non communes.

Dans la première Partie nous avons traité le problème de la translation. Les surfaces intégrales communes étaient des surfaces de translation.

IL est besoin ici de faire la distinction suivante : on désigne, en Géométrie, par le même nom de surfaces de translation des surfaces qui dérivent par la translation d’une même surface, et des surfaces dont chacune est formée par des courbes de translation. Nous désignerons ces dernières, pour les distinguer, sous le nom de surfaces de courbes de translation.

Les surfaces que nous avons rencontrées dans la première Partie étaient de ce dernier genre. Il nous reste à traiter le problème de la translation regardé au premier point de vue que nous avons cité. Nous démontrerons dans ce qui suit le théorème général suivant :

St l’on a m équations formant un système complet de la forme

03 )z ®) 03 il | | nt L 1 1 mt œ Si Cr = se CH (#] ne + 4 (PIRE a = QE (and) nr De nat) oz Ôz 0 03 m mn 1 nt 7 :| me Là (o —+ a, (a À + 4 Ce) a + —— —= 0 L 0x: 2, SET Eee re i( 1,7" anis De i 0Æ} ?

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les surfaces intégrales communes (& n — m +1 dimensions) seront alors des surfaces de translation.

Ji à L \ A Q " Notre théorème regarde même les surfaces qui ne sont pas formées par des courbes de translation.

Nous allons démontrer encore un intéressant théorème par rapport à la manière dont sont distribuces les caractéristiques sur les surfaces intégrales communes, savoir :

Sert cont des intégrales communes aux deux équations

FUN Pr nee Mie

GER éo OT À OT 0e CS 0z & FRA B(z) me AM orme re = O,

la condition nécessaire et suffisante pour que les caractéristiques soient des courbes conjuguées sur les surfaces intégrales communes est que l’une des équations

à ds DES HONOR AM) EN ES;

Ë à 03 Ôz B(a) +... + BC) +B(a) —1()

admette comme intégrales k,, ..., k,,.

Ce théorème comprend comme cas particulier le cas des équations aux intégrales réciproques, car ces équations sont justement