DA

= obtenu en m ulüpliant les éléments correspondants de Det de À, et les

déterminants 1,,2+h | ï 4 = na L h ; Dee x"! x Le Pr u"=t+h x"=! "+ : 4 L à Le £ , | 1 n' É j EP: DEVONS rie IL n—1 A 7 MOT NT ER +. Fe 2 SRE one pour (k+h>n)l, CT LES

obtenus en multipliant la Écionne de rang & de D avec la colonne be rang & + de A. On considère ? + À = h si i + h est plus grand que ».

y AM

Ces déterminants jouissent des propriétés suivantes : LE La somme des termes qui sont dans une même colonne, ou sur une Re —

même ligne du déterminant D;,, est égale à l'unité. | Es

On a ainsi 2» relations entre les éléments des déterminants D D:

et À; |

La somme des termes qui sont soit dans une même colonne, soit sur une même ligne de chaque déterminant D;;,,, est égale à zéro.

On a encore 2n(n — 1)relations entre les éléments de D et A.

Pour établir ces faits, dérivons par rapport à x,,...,x, chacune des expressions (1). On aura

bee HU, +... +Xu, |

D: dos no h—=1 Do n).

À ( JUC) ) O0 = re + TL; au EE... %: uns |

Nous avons démontré le théorème relatif aux colonnes de nos déterminants; pour le démontrer par rapport aux lignes, résolvons ces

42 C. POPOVICI.

équations par rapport aux expressions x} ; nous aurons

DRE ne cn) AT es DCE M ER, M) HER A à

ce qui nous donne les relations

k+h DL

or 2h n I—=uU,X + UEX, mt. 107 D

(3) our te ump... Pur

relations qu’on peut déduire également si l’on suppose les équations (1) résolues par rapport à w,,..., u,, et qu'on prenne ensuite les dérivées par rapport à ces mêmes variables.

On voit qu'il n’y a que »° relations distinctes parmi les 27° relations (2)et (3).

On peut citer encore d’autres propriétés de nos déterminants; ainsi, par exemple, tous les mineurs relatifs, soit à une ligne, soit à une colonne du déterminant D;;, ont la même somme, etc.

Il. Considérons maintenant les équations différentielles

| Xi (2) = 2, pi + Pate +2, Pr = 0