FREE (4) PARU
Supposons les équations (23) résolues par rapport à w, » et 4. On aura pour nos inconnues
KR nil 1 P3(9)
Les équations (235) expriment que toutes les surfaces (ADP) ECO nt:
sont des surfaces de courbes de translation, mais qu’une série de ces courbes u, = const. dérive par homothétie d’une seule courbe
z=f@ y=fiu) 3=f(u).
On pourrait s'exprimer en ces termes que, lorsqu'il ÿ à une liaison entre &, et &,, on passe d’une surface intégrale commune k, à une autre k, par une dilatation suivant les courbes & après une translation suivant les courbes » [la dilatation sera p(k,)—p(f) et la translation o,(+, k,) — 9,(6,k)].
On peut aussi voir que, lorsqu'il existe encore une relation ?, = D(o,),
56 C. POPOVICI.
les surfaces intégrales communes se présentent généralement sous la forme
a = f.(u)pCk) + p,(e)r(k) + s(R), J = fi(u)e 0) + p(8)r() + 82), 2 = f.(u)p() + p(P)r(K) + SR).
Congruences conjuguées.
XIV. Nous allons maintenant chercher quelles condilions doivent remplir deux équations
ANS) = pce. Op: Mdr Pro; B (&r) = b,p, Sn can 0, Pr-1 + bp 0,
formant un système complet, pour que les caractéristiques sotent sur les surfaces intégrales communes des lignes conjuguées.
Nous désignerons par k,, ...,k,, les intégrales communes et par
et » deux intégrales non communes des équations B(z) et A(z). Soil
un changement de variables qui définit le système complet donné.
Pour des valeurs constantes données à Æ,, ..., k,,, nous aurons
une surface à deux dimensions; nous dirons que les lignes & et e sont conjuguées sur cette surface si l’on a
CA ARTE EE LE ou dv ou O6 (24) RE ENS O G00 6 6. 0 :
Da, = } 0Ty 2 0% OT 7 V5 Or,ona
di 22 An
du du
b; ne. EST by
0 F, — ee — OF,
c’est-à-dire
0x; Ôx; = U— : LR 0 du xd;, de Rs 5b,.
On aura dx; . dia) J(aa;) du AN D. Bb, +... + ges Pr ou dx; du dv A BB(xa;) et aussi è 0x; è ox => xæ A(Bb;).
Développons la première relation
(25). TE = Ba[B(a)] + BB(a)as.
Si nous formons les expressions
dx OK; d00R; - du dv 0x; du dv 0%,
CE ST D), nous aurons, en vertu deséquations (21) et (22),
Ba [B(a,) 5 LÉREE À me | = [ha — BB(a)] A(k,) + uB B(K;);
or
Donc, les fonctions k,, ..., k,, seront des intégrales communes aux équations À, B et à l’équation w(z) = Bla,)p, +...+B(a)p:=0; elles seront aussi des intégrales communes avec l'équation
CS) = AR, ) pic AC) D 07
car les expressions
BB(aa;) = « A(Gb:;)
58 C. POPOVICI.
nous donnent L(z) — w(3) = <B(a)A(z) — 3A(B)B(z).
XV. Nous avons obtenu le moyen de reconnaitre si les caractéristiques sont des lignes conjuguées sur les surfaces intégrales communes, quand on connaît ces intégrales; il est intéressant de reconnaitre ce fait sans qu'il soit besoin d’intégrer le système complet.
Pour cela nous remarquons que les équations 1 (3) et 1,(3) admettent les » — 2 intégrales communes des équations A(z) et B(z).
On aura donc
En éliminant les quantités 8,, B,; &,, «,. les conditions cherchées s'expriment par le fait que tous les déterminants
A(b;) a; b; B(a;) a; b; Dire hA(OE are | A;pi=| Bar) ax br | A (b) y, k, | B(a;) dy D;
AO A TE Dot . ’ sont nuls. On aura 2 . ) conditions; mais elles se rédui-
sent à 2(7 — 3) conditions distinctes. Ces relations contiennent aussi la condition que les équations A(z) et B(z) forment un système complet, car cette condition s'exprime, comme il est aisé de le voir, par les relations |
A(b;) — B(az) ax bx | = 0 RARES A URR
A(b,) B(a;) dy, b,
Si l’on veut que les caractéristiques soient des lignes de courbure, il suffit d'ajouter la condition
ab, +...+a,b,= 0.
La recherche de l'intégrale commune se réduit dans le cas n — 3 à
AE Us VE - à ÿ
LS les surfaces sur D ge congruences d caractéristiques sont é ARE seront données Par Sa de l'équation
AG) A = 0 Es | où To on regarde < z comme un Dar
Éc uations COIHENNCE Fe | XVI. Parmi les résultats | précédents nous avons trouvé on :
Si l’on a deux équation A(z) = ai on 2 eeT D
qui vérifient les conditions
a) (2) = BA(z) + BB(z)
ou
A()=YŸ Aa %, B()=YB(a)2
les deux équations AG] et B(z) admettent une famille de surfaces intégrales communes sur lesquelles les deux congruences de caractéristiques tracent des lignes conjuguves.
Nous appellerons les équations A(z) et B(z) équations conjuguées. Comme deux combinaisons linéaires d’un système complet donnent encore un système complet, il est à se demander si la même chose n'arrive pas pour les systèmes conjugués.
Soient
M(z)—PA(z)+@QB(z), N(z)=RA(:)+SB(z) Ph, 9
deux combinaisons linéaires à deux équations conjuguées. On a
Ôz Ôz M(:) > (Pa; + QU) 3 a LS
| Oz N(:)=Ÿ (Ra+S DE Dr
Il faut qu’on ait
(3) = Ÿ MG) LE = mM(z) + m, N(5), m(3)=Ÿ Nm) = M(5)+ re N(5).
Or, on peut écrire Mn) = aM(R) + b,M(S) + RM(ax) + SM(b»),
Les deux premiers termes de chacune de ces expressions sont des combinaisons linéaires de a, et b;; pour que nos équations soient conjuguées, il faut qu’on ait
RM(az) = SM(b;) = , Op Ho by, P N (&x) De QN(b, = AU E Rs by.
Or,ona Max) = PA(a;) + QB(a;) | Na)=RAa;) + SB(a) M{bx) = PA(b,) + QB(b:) | N(bx) = RA(E:) + SB(b:)
Si, maintenant, nous formons les combinaisons précédentes, et que nous tenions compte du fait que A(b;) et B(a;) sont chacune des combinaisons linéaires de a; et b;, nous obtenons pour les deux équations la seule condition
(28) PRA (az) + QSB(b;) = pay + 00 by.
Ces relations doivent être satisfaites quel que soit £. Elles doivent être compatibles par rapport aux inconnues P, R, Q,S, o, et o..
