PREMIÈRE PARTIE
Sur les équations aux intégrales réciproques (!).
I. Nous appellerons équations aux intégrales réciproques deux systèmes d'équations différentielles :
de EC Er (1) BR FPEe u, 52h à Ce (2) nn — L — due En rt où Pis 212) On;
sont le système fondamental d’intégrales premières des équations (1) et HF NUS,
le système fondamental d’intégrales premières des équations (2). Pour trouver un système de fonctions # et v satisfaisant à notre problème, nous devons intégrer le système de 2(7 — 1) équalions aux
(1) Voër ma Note dans les Comptes rendus, 22 avril 1907, et Île Bulletin de
la Société mathématique de France, fasc. I, 1907.
2 C. POPOVICI.
dérivées partielles non linéaires suivantes :
| dr dx sé On ù F ‘0x NF net dy DER (®) l Oux du ou : ( 0æ, he Are = > —+- 0æ, ==)
(UT CNRS EE à
Je vais démontrer d’abord que, quel que soit le procédé par lequel on obtienne un système de solutions, les 2(7 — 1) relations finies qui les définissent sont toujours réductibles à la forme
ONE Guru, DC res 0e, ) EURE ON C0) OU ere Une) == (Pis crane) CD 2 TE
Nous arriverons à ce résullal même par des conclusions remar-
quables.
Considérons, tout d'abord, les deux équations linéaires suivantes :
: 03 05 03 & (6) UG)=us is none R- 0x, = 0 Oz OZ 0z (D vez = 0, 0x, Li + (nt ee
Uys +, Un 3 Pis + Pn, étant des solutions supposées connues du problème.
Ces deux équalions sont en involulion.
En effet, on a
U[V(2)] = V[UG)= Y LUC) - V(u)] LR
KA
Cette expression est identiquement nulle en vertu des équauons (3).
Il résulte, d’après la théorie de Jacobi et Mayer, que les équalions U(z)— 0 et V(z) = 0 admettent n — 2 intégrales communes.
. sé i É F ’ . | L ro | Ur die
+ re ; a
SUR LES ÉQUATIONS AUX INTÉGRALES RÉCIPROQUES. ee : : N dre TAB
; relations (5) sont déjà établies. ko :
Une conséquence géométrique de ce dernier résultat, c’est que les
deux congruences de caractéristiques Ÿ
U,—d,, …. Un = An-,; Pile Docs VE 0 admettent une famille de surfaces à deux dimensions communes :
HU UdR). … (Eden (9) 0 db CO
ET : Ces surfaces dépendent de x — 2 paramètres k,, : appellerons surfaces intégrales communes.
À Voyons maintenant comment sont distribués sur chacune de ces surfaces les deux faisceaux de courbes w et v. Pour cela remarquons À
Ps eo MOUICS
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que, pendant un déplacement suivant une courbe w;,— a; caractéristique du système (2), toutes les courbes +; — b; qui la rencontrent ont | leurs tangentes parallèles aux points d’intersection; en outre, les
cosinus directeurs de ces tangentes sont exprimés précisément par les “à j 2 nombres e 4; TRS I
<< ——— ) RE ee Varna ui Voie... ai
Il en résulte que les caractéristiques constituent deux faisceaux de courbes de translation sur chaque surface intégrale commune; ces surfaces sont par conséquent des surfaces de translation et s'expriment par des relations de la forme
(10) D (UE NES DEC CET TPE) : Ge manie
+ Vai+...+ai +1
u désignera une fonction arbitraire de 4,, ..…., u,, et v une fonction arbitraire de 6,, ..., v,,3 les paramètres k,, ..., k,, seront les indices d’une telle surface dans l’espace à » dimensions.
Pour des valeurs constantes des 4,, …, k,,, les équations (8), (9) ou (10) nous représentent la même surface; en vertu de ces équations la famille de surfaces (10) peut s'exprimer sous la forme (4), (5).
| fes ion = par: ae ] cou translation d'une surface Ve 2
dé"
