PISE D
« sur une re es CIS s ; | De 5 ; a =D, (6, ces Pr) .….. Ty Da(Pi, +.) On }
ce mouvement n'étant pas arbitraire, mais réglé par les équations (5) ‘qui expriment une correspondance entre les courbes de la surface F et celles de la surface ®, de telle façon que, lorsque la surface F glisse sur une courbe
k,= p,(0,, 0 0) nas LEE CE Ma
de la surface D, ce sont les points de la courbe correspondante 8 " k,= Au, -:., Un); 7. ka, Un)
dont les trajectoires sont des caractéristiques du système (r).-Nous
appellerons pour cette raison les surfaces F et ® surfaces généra- s : | drices.
di nie IT. Passons maintenant à l'intégration du système (3), c’est-à-dire
à la recherche des fonctions F, ®; À et 4. Pour cela -appliquons aux
équations (4) et (5) les opérations U(z) et V(z) en tenant compte
des équations (3). Nous aurons les relations
=D, Déus | er hi Cox),
k k : ce 1 OC) Pn=1 = D ,V(e ?
CE (12) = Re DD U(ux), 1= D Ve),
md k
D NUE DDRM) h
ie A + L , “ 4 " ° NS AUX INTÉGRALES RÉCIPROQUES. 021 OF, Fe : ES etes L Sr : É er 7. vec Re. A1,
Û mu? .
2 Pour que ces équations soient compatibles par rapport aux expres- 24 sions U(u) et V(e4), il faut que F, et ®, soient des intégrales des équations linéaires
:e è 1077 | FE" Fr 1 : n—1 | à +:
"ns 4 | 1 1 PA e 10 P, ®, .… ® DR p” D « — 7 — D c7 Jo - NES Le = be 4 FL MERE ET) O1 Aer LR OU IR DEN 10 A CT : i É CP #4 CRE : cie 0F 7. 0® 0 "1e E- L Oui dun dP; i dvi : "Nid # s 1 — $ 7 LS A mer où les fonctions F,, ..., F,,; ®,, ..., ®,, peuvent être choisies à :
notre gré; ce sont des fonctions arbitraires de l’intégration; quant aux fonctions À,,..., Àn 13 Us -.., Un, elles doivent être des intégrales des équations homogènes correspondantes,
RSR A URNTENPER
AN
Eee = u, Ar La F1 j o, D' Pa D
DOTE An, HU =0,s AS lé DS De EE
R—1 N—A 1-1 } DRE PR 9p | Ou, ose, Of NEO Pre
Le problème est ainsi réduit à l’intégralion de deux équations Jinéaires à » —1 variables D et A. On pourrait, par cette méthode, trouver une infinité d'intégrales des équations réciproques; mais nous allons voir qu'il n’est pas besoin d'intégrer aucune équation pour avoir des solutions satisfaisant à notre problème.
A cet effet, proposons-nous de résoudre le problème qui correspond à deux surfaces génératrices données d’avance,
GE R(z,, D T,.); DD Sr et)
cela revient à se donner déjà une intégrale de chaque équation D et A. On peut résoudre d’un seul coup le problème par rapport à un
6 C. POPOVICI.
groupe de 2(n — 1) surfaces génératrices associées, Dear 1 1 DRE NT 2 DER (DIMM), D (Hi... 4, (TE Tous, ee 0)
c’est-à-dire en se donnant d'avance » — 1 intégrales des équations D et À, et chercher les fonctions F;(4,,...,u, 4), Dx(v,,...,#, 1), Ou, en d’autres termes, la représentation paramétrique de ces surfaces qui correspond à notre problème.
En prenant comme variables x}, :.., æ! et x',..., æ,, les équations D et A peuvent s’écrire (*)
u Giabte nr 9F D(Fs Fons)
ONE Os Du, PPS OO és te ne 0% je eee CE DS Pr 9x2 ous Dr: , Es 5er) FES
comme F,,..., F,,; ®,,..., D, , désignent des variables imdépendantes, on obtient, en exprimant que K° et ®’ sont des intégrales, les équations
oFi OF:
(13) A Do ani il O | >D: bi (Ti. ., men):
di n
( 4) 27 da EE Dour N—1 0 a SE I— 0
Ces équations nous donnent &w,, ..., u,, ete,,...,*, , en fonction des æ} et x?; mais si l’on veut avoir le problème résolu par rapport aux deux surfaces génératrices,
LEE PU ER PURES € À Re 2 LR — F (Car LR Ti) lp —= D'(eri, Fe CE}
les équations (13), (14) et ces deux dernières nous donnent x!, ..…,. ni
(*) En effet, on a
Den ns RP ARR, e DRE PE ORPI Et
== || = NS = +i)t ù ( OF secs DTA ere
SUR LES ÉQUATIONS AUX INTÉGRALES RÉCIPROQUES. 7 PET 2 PA, ? : 3 ° et Z,, ...,x,; c'est-à-dire F,,..., F, et ®,, ..., ®, en fonction de Use. DL TOP) 75. Due Quant aux fonctions À,, ..., ,,; U,, ..…., u, ,, ce sont des intégrales des équations d}. di. 0 Un +... + Un, 3 = G, LEA is — dx} ñ 0%}, ! du: n=—A 67744 par suite, les À et :: seront des fonctions des expressions F‘— F# et D'— D que kon a exprimées en fonction de w et ». On aura, par suite, comme intégrales communes les relations
ÉCES= F2, F4) =M;(@ 7, @— @7f) GERS où les fonctions L; et M; peuvent être choisies arbitrairement ; ce fait exprime que nous sommes libres de choisir, à notre gré, la correspondance entre les courbes des deux surfaces génératrices par rapport aux-
quelles on se propose d'exprimer les intégrales. [IT. Considérons le système d'équations non linéaires suivantes :
de De | A(u,;)—=A,(u,, 7) Un) 3ne +... .+A, ,(4,, …, Un 1) ni On wi 3)
0Mn
| B(s)=B,(6,,...,0,.,) dur +...+B, ,(0,,..., 9,4) Our dux
dz; GES Ghos
